要以符号形式计算积分

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要以符号形式计算积分

1. 插入积分运算符。

2. 在积分符号右侧的占位符中键入表达式。

3. 在符号 d 右侧的占位符中键入积分变量 x。

4. 插入符号求值运算符。

单击复制此表达式

<region id="ID0E56QUB" actualWidth="221.93666666666667" actualHeight="58.952000000000005" top="19.200000000000003" left="0" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="6" xml:lang="zh_CN">
    <symEval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="zh_CN">
        <integral xml:lang="zh_CN" />
        <lambda xml:lang="zh_CN">
          <boundVars xml:lang="zh_CN">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <mult xml:lang="zh_CN" />
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="zh_CN">2</real>
            </apply>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">e</id>
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="zh_CN">
          <placeholder xml:lang="zh_CN" />
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="zh_CN">
          <placeholder xml:lang="zh_CN" />
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="zh_CN">
        <placeholder xml:lang="zh_CN" />
      </command>
      <symResult xml:lang="zh_CN">
        <apply xml:lang="zh_CN">
          <mult xml:lang="zh_CN" />
          <parens xml:lang="zh_CN">
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <plus xml:lang="zh_CN" />
              <apply xml:lang="zh_CN">
                <minus xml:lang="zh_CN" />
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <pow xml:lang="zh_CN" />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                  <real xml:lang="zh_CN">2</real>
                </apply>
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <mult xml:lang="zh_CN" />
                  <real xml:lang="zh_CN">2</real>
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                </apply>
              </apply>
              <real xml:lang="zh_CN">2</real>
            </apply>
          </parens>
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <pow xml:lang="zh_CN" />
            <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">e</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
          </apply>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

只能使用符号求值运算符计算不定积分。

5. 要从 0 到 5 计算同一函数的定积分，可在积分的底部占位符中键入 0。在顶部占位符中键入 5，并重复步骤 2-4。

单击复制此表达式

<region id="ID0EPCRUB" actualWidth="168.5266666666667" actualHeight="58.952000000000005" top="96.000000000000014" left="0" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="7" xml:lang="zh_CN">
    <symEval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="zh_CN">
        <integral xml:lang="zh_CN" />
        <lambda xml:lang="zh_CN">
          <boundVars xml:lang="zh_CN">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <mult xml:lang="zh_CN" />
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="zh_CN">2</real>
            </apply>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">e</id>
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">5</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="zh_CN">
        <placeholder xml:lang="zh_CN" />
      </command>
      <symResult xml:lang="zh_CN">
        <apply xml:lang="zh_CN">
          <minus xml:lang="zh_CN" />
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <mult xml:lang="zh_CN" />
            <real xml:lang="zh_CN">17</real>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">e</id>
              <real xml:lang="zh_CN">5</real>
            </apply>
          </apply>
          <real xml:lang="zh_CN">2</real>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat xml:lang="zh_CN">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="zh_CN" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

柯西主值

间隔 (a, b) 中关于点 c 的积分的柯西主值由以下表达式定义：

单击复制此表达式

单击复制此表达式

<region id="ID0EOERUB" actualWidth="213.65666666666669" actualHeight="58.800000000000004" top="230.40000000000003" left="0" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="9" xml:lang="zh_CN">
    <apply xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <limit xml:lang="zh_CN" direction="right" />
      <lambda xml:lang="zh_CN">
        <boundVars xml:lang="zh_CN">
          <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">ε</id>
        </boundVars>
        <parens xml:lang="zh_CN">
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <plus xml:lang="zh_CN" />
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <integral xml:lang="zh_CN" />
              <lambda xml:lang="zh_CN">
                <boundVars xml:lang="zh_CN">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                </boundVars>
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                </apply>
              </lambda>
              <lowerBound xml:lang="zh_CN">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">a</id>
              </lowerBound>
              <upperBound xml:lang="zh_CN">
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <minus xml:lang="zh_CN" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">c</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">ε</id>
                </apply>
              </upperBound>
            </apply>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <integral xml:lang="zh_CN" />
              <lambda xml:lang="zh_CN">
                <boundVars xml:lang="zh_CN">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                </boundVars>
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
                </apply>
              </lambda>
              <lowerBound xml:lang="zh_CN">
                <apply xml:lang="zh_CN">
                  <plus xml:lang="zh_CN" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">c</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">ε</id>
                </apply>
              </lowerBound>
              <upperBound xml:lang="zh_CN">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">b</id>
              </upperBound>
            </apply>
          </apply>
        </parens>
      </lambda>
      <real xml:lang="zh_CN">0</real>
    </apply>
  </math>
</region>

柯西主值的目的是：当函数 f 在 c 处具有奇点时，定义积分的值。例如，以下积分在 c = 0 处具有奇点，并且符号运算会返回错误。

单击复制此表达式

<region id="ID0EVFRUB" actualWidth="159.13666666666666" actualHeight="80.552" top="307.2" left="0" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="10" xml:lang="zh_CN">
    <symEval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="zh_CN">
        <integral xml:lang="zh_CN" />
        <lambda xml:lang="zh_CN">
          <boundVars xml:lang="zh_CN">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <div xml:lang="zh_CN" />
            <real xml:lang="zh_CN">1</real>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="zh_CN">3</real>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">-1</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">1</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="zh_CN">
        <placeholder xml:lang="zh_CN" />
      </command>
      <symResult xml:lang="zh_CN">
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">undefined</id>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

要查找积分的柯西主值，可添加修饰符 cauchy。

单击复制此表达式

<region id="ID0ESGRUB" actualWidth="137.65333333333334" actualHeight="80.552" top="403.2000000000001" left="0" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="11" xml:lang="zh_CN">
    <symEval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="zh_CN">
        <integral xml:lang="zh_CN" />
        <lambda xml:lang="zh_CN">
          <boundVars xml:lang="zh_CN">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="zh_CN">
            <div xml:lang="zh_CN" />
            <real xml:lang="zh_CN">1</real>
            <apply xml:lang="zh_CN">
              <pow xml:lang="zh_CN" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="zh_CN">3</real>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">-1</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="zh_CN">
          <real xml:lang="zh_CN">1</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="zh_CN">
        <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">柯西</id>
      </command>
      <symResult xml:lang="zh_CN">
        <real xml:lang="zh_CN">0</real>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat xml:lang="zh_CN">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="zh_CN" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

除非指定了 cauchy 关键字，需要柯西分析的积分的符号运算会返回 undefined 的结果。