函数
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求解和最优化
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微分方程求解器
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示例：方形板上的热流 - II
示例：方形板上的热流 - II
使用偏微分方程求解器
relax
求解方形板的稳态温度分布。
求解泊松方程
在已知源函数值和边界条件不为零的条件下求解热方程。
relax
函数基于完全不同的求解方法，因此需要不同的自变量集。
1.
定义五个含有拉普拉斯近似系数的方阵
a
、
b
、
c
、
d
和
e
：
<region id="ID0EO4NDB" top="326.40000000000003" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="36.800000000000004" width="326.7166666666667" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="0" xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">a</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">u</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </apply> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">b</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">u</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <minus xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </apply> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> </apply> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">c</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">u</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <plus xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </apply> </sequence> </apply> </apply> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">d</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">u</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <minus xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </apply> </sequence> </apply> </apply> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">e</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">u</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> </apply> </apply> </math> </region>
这些数组可以具有指定的任意大小。这些数组越大，则解中的网格越精细。
2.
定义方形板的维数：
<region id="ID0E66NDB" top="460.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="52.086666666666673" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="2" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">R</id> <real xml:lang="zh_CN">32</real> </define> </math> </region>
<region id="ID0ERAODB" top="499.20000000000005" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="63.536666666666676" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="4" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <range xml:lang="zh_CN"> <real xml:lang="zh_CN">0</real> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </range> </define> </math> </region>
<region id="ID0EDBODB" top="537.60000000000014" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="64.68" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="6" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> <range xml:lang="zh_CN"> <real xml:lang="zh_CN">0</real> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </range> </define> </math> </region>
3.
定义系数：
<region id="ID0EYCODB" top="614.40000000000009" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="36.800000000000004" width="54.973333333333343" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="8" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">a</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </define> </math> </region>
<region id="ID0EKDODB" top="652.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="40.410000000000004" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="10" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">b</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">a</id> </define> </math> </region>
<region id="ID0E3DODB" top="691.2" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="39.953333333333333" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="12" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">c</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">a</id> </define> </math> </region>
<region id="ID0EOEODB" top="729.60000000000014" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="41.596666666666671" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="14" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">d</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">a</id> </define> </math> </region>
<region id="ID0EAFODB" top="768.00000000000011" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="67.98" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="16" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">e</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">-4</real> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">a</id> </apply> </define> </math> </region>
4.
定义常数源的强度和位置。
<region id="ID0EVGODB" top="844.80000000000018" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="36.800000000000004" width="76.356666666666669" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="18" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">S</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> <real xml:lang="zh_CN">0.05</real> </define> </math> </region>
5.
定义一个包含已知函数
F(x,y)
的边界值和未知内部值的估值的方阵
f
，其大小与网格大小相同。
◦
沿顶部的边界条件：
<region id="ID0E2JODB" top="979.20000000000016" left="57.600000000000009" xml:lang="zh_CN" height="36.800000000000004" width="55.816666666666677" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="20" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <real xml:lang="zh_CN">0</real> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> <real xml:lang="zh_CN">0</real> </define> </math> </region>
◦
沿底部的边界条件：
<region id="ID0EQLODB" top="1094.4" left="57.600000000000009" xml:lang="zh_CN" height="47.2" width="154.87333333333334" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="22" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">R</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> </sequence> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">2</real> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">cos</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">4</real> <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">π</id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">j</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </apply> </apply> </apply> </apply> </define> </math> </region>
◦
沿边缘的边界条件：
<region id="ID0EFNODB" top="1209.6000000000001" left="57.600000000000009" xml:lang="zh_CN" height="47.2" width="79.98" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="24" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <real xml:lang="zh_CN">0</real> </sequence> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">2</real> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </apply> </apply> </define> </math> </region>
<region id="ID0EXNODB" top="1267.2000000000003" left="57.600000000000009" xml:lang="zh_CN" height="47.2" width="82.033333333333346" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="26" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">f</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">R</id> </sequence> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">2</real> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">i</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </apply> </apply> </define> </math> </region>
6.
定义
Jacobi spectral radius
变量 r，一个介于 0 和 1 之间的实数。
<region id="ID0ERPODB" top="1420.8000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="47.2" width="86.783333333333331" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="28" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">r</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <minus xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">1</real> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">2</real> <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">π</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">R</id> </apply> </apply> </define> </math> </region>
该参数控制算法的收敛度。如果看到错误消息“迭代次数太多”，则尝试减小 r 值。
7.
调用
relax
函数：
<region id="ID0EHSODB" top="1516.8000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="25.6" width="204.10333333333335" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="30" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">F</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">relax</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">a</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">b</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">c</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">d</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">e</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">S</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">f</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">r</id> </sequence> </apply> </define> </math> </region>
8.
创建 3D 绘图来显示方形板上的热分布。
<region id="ID0E3TODB" top="1747.2000000000003" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="301.40000715255735" width="297.6000071525574" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <plot background-type="white" xml:lang="zh_CN"> <plot3D xml:lang="zh_CN"> <traces xml:lang="zh_CN"> <trace3D resultRef="32" xml:lang="zh_CN" num-of-points="41" SurfaceFill="#00FFFFFF"> <traceStyle color="#FFED1D2F" xml:lang="zh_CN">surface</traceStyle> </trace3D> </traces> <graph-size width="240.00000715255737" height="240.00000715255737" xml:lang="zh_CN" /> <axes xml:lang="zh_CN"> <xAxis rank="1" start="0" end="32" xml:lang="zh_CN"> <axisLine xml:lang="zh_CN" /> <axisGrid xml:lang="zh_CN"> <gridFrequency xml:lang="zh_CN">5</gridFrequency> <gridLabels display="true" xml:lang="zh_CN" /> <gridLines xml:lang="zh_CN" /> <tickMarks display="true" xml:lang="zh_CN" /> </axisGrid> <axisLabel xml:lang="zh_CN" /> <numberFormat xml:lang="zh_CN"> <general precision="3" xml:lang="zh_CN" /> </numberFormat> <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true" xml:lang="zh_CN" allow-negative-values="true"> <startValue xml:lang="zh_CN" /> <endValue xml:lang="zh_CN" /> </xyDomain> </xAxis> <yAxis rank="1" start="0" end="32" xml:lang="zh_CN"> <axisLine xml:lang="zh_CN" /> <axisGrid xml:lang="zh_CN"> <gridFrequency xml:lang="zh_CN">5</gridFrequency> <gridLabels display="true" xml:lang="zh_CN" /> <gridLines xml:lang="zh_CN" /> <tickMarks display="true" xml:lang="zh_CN" /> </axisGrid> <axisLabel xml:lang="zh_CN" /> <numberFormat xml:lang="zh_CN"> <general precision="3" xml:lang="zh_CN" /> </numberFormat> <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true" xml:lang="zh_CN" allow-negative-values="true"> <startValue xml:lang="zh_CN" /> <endValue xml:lang="zh_CN" /> </xyDomain> </yAxis> <zAxis rank="1" start="-3" end="4.5" xml:lang="zh_CN"> <axisLine xml:lang="zh_CN" /> <axisGrid xml:lang="zh_CN"> <gridFrequency xml:lang="zh_CN">6</gridFrequency> <gridLabels display="true" xml:lang="zh_CN" /> <gridLines xml:lang="zh_CN" /> <tickMarks display="true" xml:lang="zh_CN" /> </axisGrid> <axisLabel xml:lang="zh_CN" /> <numberFormat xml:lang="zh_CN"> <general precision="3" xml:lang="zh_CN" /> </numberFormat> <zDomain scale-type="linear" auto-scale="true" xml:lang="zh_CN" allow-negative-values="true"> <startValue xml:lang="zh_CN" /> <endValue xml:lang="zh_CN" /> </zDomain> </zAxis> </axes> <plotEquations xml:lang="zh_CN"> <plotEquation xml:lang="zh_CN"> <math xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <neg xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">F</id> </apply> </math> <math xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" /> </math> </plotEquation> </plotEquations> <CameraTransformMatrix Columns="4" Rows="4" xml:lang="zh_CN"> <Cells xml:lang="zh_CN"> <Cell xml:lang="zh_CN">-0.052623873051966662</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0.043294250885890617</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0.99767546618388891</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0.095704097834471175</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0.99467978821191028</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">-0.038116198399097093</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">-0.99401783366431629</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0.093475808436936883</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">-0.056487340124674094</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">0</Cell> <Cell xml:lang="zh_CN">1</Cell> </Cells> </CameraTransformMatrix> <CameraType xml:lang="zh_CN">Orthographic</CameraType> </plot3D> </plot> </region>
9.
创建等值线图来显示恒温线。
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