函数
>
变换和滤波器
>
示例：关于复数函数的 DFT
示例：关于复数函数的 DFT
使用函数
dft
和
idft
计算复数或实数形式的正逆傅立叶变换。
1.
创建一些具有 N 个数据点的模拟复数数据。
<region id="ID0E5PFKB" actualWidth="61.166666666666671" actualHeight="25.6" top="153.60000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="54" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">N</id> <real xml:lang="zh_CN">100</real> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EQQFKB" actualWidth="91.576666666666668" actualHeight="25.6" top="192.00000000000003" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="56" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> <range xml:lang="zh_CN"> <real xml:lang="zh_CN">0</real> <apply xml:lang="zh_CN"> <minus xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">N</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </apply> </range> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
2.
定义采样间隔。
<region id="ID0EFSFKB" actualWidth="43.343333333333334" actualHeight="25.6" top="268.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="58" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">T</id> <real xml:lang="zh_CN">1</real> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EXSFKB" actualWidth="65.253333333333345" actualHeight="36.800000000000004" top="307.20000000000005" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="60" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">t</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">T</id> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EJTFKB" actualWidth="56.206666666666671" actualHeight="47.2" top="364.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="62" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN"> <Span xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation">ω<Subscript xml:lang="zh_CN" xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript></Span> </id> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">π</id> <real xml:lang="zh_CN">8</real> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
3.
使用函数
exp
定义以下信号。
<region id="ID0EUVFKB" actualWidth="133.57" actualHeight="36.800000000000004" top="460.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="64" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">s</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">exp</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <imag symbol="i" xml:lang="zh_CN">1</imag> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true"> <Span xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation">ω<Subscript xml:lang="zh_CN" xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript></Span> </id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">t</id> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> </apply> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
4.
定义采样频率以及对应于已变换矢量中第 n 个条目的频率。
<region id="ID0EJXFKB" actualWidth="51.7" actualHeight="47.2" top="556.80000000000007" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="66" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN"> <Span xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation">f<Subscript xml:lang="zh_CN" xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">s</Subscript></Span> </id> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">1</real> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">T</id> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0E2XFKB" actualWidth="97.593333333333334" actualHeight="47.2" top="614.40000000000009" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="68" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">freq</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <mult xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">N</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true"> <Span xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation">f<Subscript xml:lang="zh_CN" xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">s</Subscript></Span> </id> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
5.
应用
dft
函数将数据变换为频域。
<region id="ID0EVZFKB" actualWidth="76.800000000000011" actualHeight="25.6" top="710.40000000000009" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="70" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">D</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">dft</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">s</id> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
6.
将数组
D
元素的模保存为新的数组。
<region id="ID0EP2FKB" actualWidth="66.433333333333337" actualHeight="36.800000000000004" top="787.20000000000016" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="72" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">S</id> <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> <apply xml:lang="zh_CN"> <absval xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">D</id> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">n</id> </apply> </apply> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
7.
使用函数
match
和
max
计算峰值的振幅和频率。
<region id="ID0EQ5FKB" actualWidth="152.26666666666665" actualHeight="25.6" top="883.20000000000016" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="74" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">m</id> <eval xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">max</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">S</id> </apply> <unitOverride xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="2" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EC6FKB" actualWidth="211.09" actualHeight="36.800000000000004" top="921.60000000000014" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="76" xml:lang="zh_CN"> <define xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">p</id> <eval xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <parens xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">match</id> <sequence xml:lang="zh_CN"> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">max</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">S</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">S</id> </sequence> </apply> </parens> <real xml:lang="zh_CN">0</real> </apply> <unitOverride xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EU6FKB" actualWidth="95.316666666666677" actualHeight="36.800000000000004" top="960.00000000000011" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="78" xml:lang="zh_CN"> <eval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">freq</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">p</id> </apply> <unitOverride xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" /> </unitOverride> </eval> </math> </region>
8.
绘制 DFT 模的图象作为频率的函数。
<region id="ID0EJBGKB" actualWidth="576.40000000000009" actualHeight="288" top="1036.8000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" height="288" width="576.40000000000009" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <plot background-type="white" origin-positioning="true" xml:lang="zh_CN"> <xyPlot xml:lang="zh_CN"> <title class="- topic/title " xml:lang="zh_CN" toc="yes" wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" /> <legend xml:lang="zh_CN" /> <traces xml:lang="zh_CN"> <trace resultRef="80" xml:lang="zh_CN"> <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid" xml:lang="zh_CN">lines</traceStyle> </trace> </traces> <graph-size width="480.4" height="230.4" xml:lang="zh_CN" /> <axes xml:lang="zh_CN"> <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="1" xml:lang="zh_CN"> <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="81.73" xml:lang="zh_CN" /> <axisGrid xml:lang="zh_CN"> <gridFrequency xml:lang="zh_CN">11</gridFrequency> <gridLabels display="true" xml:lang="zh_CN" /> <gridLines xml:lang="zh_CN" /> <tickMarks display="true" xml:lang="zh_CN" /> </axisGrid> <axisLabel xml:lang="zh_CN" /> <markers xml:lang="zh_CN"> <marker resultRef="81" display="true" color="#FF2E3192" value="0.06" xml:lang="zh_CN" line-style="Dash"> <apply xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <indexer xml:lang="zh_CN" /> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">freq</id> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">p</id> </apply> </marker> </markers> <plotEquations xml:lang="zh_CN"> <plotEquation xml:lang="zh_CN"> <math resultRef="83" xml:lang="zh_CN"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">freq</id> </math> <math resultRef="84" xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" /> </math> </plotEquation> </plotEquations> <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true" xml:lang="zh_CN"> <startValue xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" /> </startValue> <endValue xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" /> </endValue> </xyDomain> </xAxis> <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="100" xml:lang="zh_CN"> <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="61.6633333333333" xml:lang="zh_CN" /> <axisGrid xml:lang="zh_CN"> <gridFrequency xml:lang="zh_CN">6</gridFrequency> <gridLabels display="true" xml:lang="zh_CN" /> <gridLines xml:lang="zh_CN" /> <tickMarks display="true" xml:lang="zh_CN" /> </axisGrid> <axisLabel xml:lang="zh_CN" /> <markers xml:lang="zh_CN"> <marker resultRef="85" display="true" color="#FF068149" value="90.032557222983954" xml:lang="zh_CN" line-style="Dash"> <id xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">m</id> </marker> </markers> <numberFormat xml:lang="zh_CN"> <general precision="2" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="zh_CN" /> </numberFormat> <plotEquations xml:lang="zh_CN"> <plotEquation xml:lang="zh_CN"> <math resultRef="93" xml:lang="zh_CN"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">S</id> </math> <math resultRef="94" xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" /> </math> </plotEquation> </plotEquations> <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true" xml:lang="zh_CN"> <startValue xml:lang="zh_CN" resultRef="88"> <real xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real> </startValue> <secondTickValue resultRef="90" xml:lang="zh_CN"> <real xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">20</real> </secondTickValue> <endValue xml:lang="zh_CN" resultRef="92"> <real xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">100</real> </endValue> </xyDomain> </yAxis> </axes> </xyPlot> </plot> </region>
9.
证明峰值频率对应于
ω
0
/2π
。
<region id="ID0ELDGKB" actualWidth="89.233333333333348" actualHeight="49.391200000000005" top="1420.8000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="104" xml:lang="zh_CN"> <eval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <div xml:lang="zh_CN" /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true"> <Span xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation">ω<Subscript xml:lang="zh_CN" xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript></Span> </id> <apply xml:lang="zh_CN"> <scale xml:lang="zh_CN" /> <real xml:lang="zh_CN">2</real> <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">π</id> </apply> </apply> <unitOverride xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" /> </unitOverride> </eval> <resultFormat xml:lang="zh_CN"> <decimal precision="2" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="zh_CN" /> </resultFormat> </math> </region>
10.
使用函数
idft
证明关于信号的 DFT 的 IDFT 将返回信号本身。
<region id="ID0EFFGKB" actualWidth="140.32666666666665" actualHeight="25.6" top="1516.8000000000002" left="38.400000000000006" xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="106" xml:lang="zh_CN"> <eval xml:lang="zh_CN" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply xml:lang="zh_CN"> <equal xml:lang="zh_CN" /> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN">idft</id> <apply xml:lang="zh_CN"> <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">dft</id> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">s</id> </apply> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="zh_CN" label-is-contextual="true">s</id> </apply> <unitOverride xml:lang="zh_CN"> <placeholder xml:lang="zh_CN" /> </unitOverride> </eval> </math> </region>
复制表达式
