Metodi di integrazione numerica
Nell'operatore di integrazione sono disponibili quattro metodi di integrazione numerica. Quando viene valutato un integrale, PTC Mathcad tenta di selezionare il metodo più appropriato in base all'elenco riportato di seguito.
• Romberg: questo metodo è applicabile alla maggior parte degli integrandi e utilizza approssimazioni trapezoidali su un numero pari di sottointervalli, quindi confronta stime sequenziali sommando le aree dei trapezi. Il metodo termina quando le quattro stime più recenti differiscono di un valore inferiore al valore della variabile incorporata TOL. Poiché il metodo di integrazione Romberg divide l'intervallo di integrazione in quattro sottointervalli, quindi raddoppia successivamente il numero di punti, è possibile che restituisca risposte errate per funzioni periodiche con periodi pari a 1/2n volte la lunghezza dell'intervallo. Per evitare questo problema, è possibile dividere l'intervallo in due sottointervalli non pari ed effettuare l'integrazione separatamente in ciascun sottointervallo. PTC Mathcad imposta un limite per il numero di iterazioni di questa procedura. Se la routine raggiunge questo limite senza convergere o se l'integrando è singolare in uno o entrambi i punti finali dell'intervallo di integrazione, PTC Mathcad passa al metodo Punto finale singolare.
• Adattivo: metodo di quadratura adattivo per funzioni che cambiano rapidamente nell'intervallo di integrazione.
• Limite infinito: metodo appropriato per integrali in cui uno o entrambi i limiti sono infiniti. La funzione da integrare deve essere reale.
• Punto finale singolare: un metodo Romberg aperto appropriato per integrali che hanno singolarità o infiniti in uno o entrambi i limiti di integrazione. Le stime preliminari dell'integrale si ottengono utilizzando i punti medi dei sottointervalli, quindi la funzione non viene valutata ai punti finali a e b. Le stime vengono concentrate vicino agli estremi dell'intervallo di integrazione, dove è probabile che gli integrandi singolari o con una derivata infinita cambino più rapidamente. Il numero di sottointervalli viene triplicato ad ogni passo. Esiste un limite stabilito per il numero di iterazioni tramite il metodo Romberg aperto. Se la routine raggiunge questo limite senza restituire una risposta, l'integrale viene contrassegnato con un errore che indica che non converge.
Ulteriori informazioni
Quando viene valutato numericamente un integrale, PTC Mathcad utilizza un metodo di quadratura adattivo. Per migliorare i risultati, è opportuno modificare TOL, i punti finali o l'integrando.
• Riducendo il valore di TOL i risultati possono migliorare, ma ad un certo punto l'integrale non riuscirà a convergere. È consigliabile utilizzare un intervallo compreso tra 10-4 e 10-6.
• Impostando gli estremali con valori elevati su infinito e utilizzando l'algoritmo dell'estremale infinito è possibile che si ottengano risposte migliori.
• Gli integrandi ripidi o le funzioni con una forma non immediatamente caratterizzata da una scala di lunghezza singola non vengono valutati in modo accurato. È possibile ottenere risultati migliori dividendo un integrale in più parti e integrando il picco separatamente dal resto del grafico.
• PTC Mathcad in genere non è in grado di integrare funzioni che presentano singolarità nell'intervallo di integrazione. Anche funzioni come quelle a gradino e a dente di sega con molte discontinuità finite possono dare origine a integrali non convergenti. Se si conosce la posizione delle singolarità nell'integrando, è spesso possibile ottenere una valutazione numerica corretta dividendo l'integrale in una somma di integrali con tali punti come limiti. Per trovare potenziali singolarità o discontinuità, tracciare il grafico dell'integrando.
• Se si applica un metodo adattivo a un integrale improprio, si ottiene probabilmente un risultato numerico scorretto. L'algoritmo di integrazione adattivo richiede che la funzione venga approssimata da un polinomiale in ogni divisione del sottointervallo, in modo che sia possibile utilizzare il metodo di quadratura di Gauss. Se l'integrando non soddisfa il requisito di continuità, è possibile che risultati ottenuti non siano precisi o che l'integrale non converga.