Bestimmte Integrale mit komplexen Grenzwerten

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Mathcad verwendet die Konturintegration, um bestimmte Integrale entlang Pfaden oberhalb der Konturlinie in der komplexen Ebene auszuwerten.

• Sie können Integrale mit komplexen Grenzwerten symbolisch auswerten.

• Verwenden Sie das Schlüsselwort float für die numerische Auswertung des Integrationswerts.

<region id="ID0EL33MB" actualWidth="487.16333333333336" actualHeight="57.800000000000004" top="153.60000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="8">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">x</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <id xml:space="preserve" labels="FUNCTION" label-is-contextual="true">exp</id>
            <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <imag symbol="i">1</imag>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <apply>
            <plus />
            <imag symbol="i">2</imag>
            <real>1</real>
          </apply>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <id xml:space="preserve">float</id>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <plus />
          <real>-1.6715066896249533558</real>
          <imag symbol="i">1.630255687196922421</imag>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

• Sie können die Dezimalschreibweise für numerische Ergebnisse verwenden. Vergleichen Sie:

Mit

• Sie können Unendlichkeit oder negative Unendlichkeit als integrale Grenzwerte verwenden.

• Wenn das Integral nicht konvergiert, ist das Ergebnis nicht definiert:

<region id="ID0EKB4MB" actualWidth="147.14" actualHeight="79.4" top="518.40000000000009" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="12">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">x</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <real>1</real>
            <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <imag symbol="i">-1</imag>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <imag symbol="i">2</imag>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <placeholder />
      </command>
      <symResult>
        <id xml:space="preserve" labels="*">nicht definiert</id>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

Um das Integral auszuwerten, wenn die Funktion einen Singularitätspunkt aufweist, verwenden Sie den Cauchy-Hauptwert.

<region id="ID0EZB4MB" actualWidth="152.89666666666665" actualHeight="79.4" top="614.40000000000009" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="13">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">x</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <real>1</real>
            <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <imag symbol="i">-1</imag>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <imag symbol="i">2</imag>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <id xml:space="preserve">cauchy</id>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <id xml:space="preserve" labels="FUNCTION">ln</id>
          <real>2</real>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

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