Méthodes d'intégration numérique
L'opérateur d'intégration propose quatre méthodes d'intégration numérique. Engineering Notebook tente de sélectionner la méthode la plus appropriée dans la liste suivante lors de l'évaluation de l'intégrale :
• Romberg : applicable à la plupart des intégrales, cette méthode utilise des approximations trapézoïdales sur un nombre pair de sous-intervalles, puis compare les estimations séquentielles en additionnant les surfaces des trapézoïdes. La méthode se termine lorsque la différence entre les quatre estimations les plus récentes est inférieure à la valeur de la variable intégrée TOL. Comme la méthode d'intégration de Romberg divise l'intervalle d'intégration en quatre sous-intervalles, puis double successivement le nombre de points, elle peut donner des réponses incorrectes pour les fonctions périodiques dont les périodes font 1/2n fois la longueur de l'intervalle. Pour éviter ce problème, divisez l'intervalle en deux sous-intervalles inégaux et intégrez chaque sous-intervalle séparément. Engineering Notebook fixe une limite au nombre d'itérations de cette procédure. Si la routine atteint cette limite sans conversion, ou si l'intégrande est singulière à l'un ou aux deux extrémités de l'intervalle d'intégration, alors Engineering Notebook passe à la méthode du point de terminaison singulier.
• Adaptatif : méthode de quadrature adaptative pour les fonctions qui changent rapidement sur l'intervalle d'intégration.
• Limite infinie : convient aux intégrales dont au moins une limite est infinie. La fonction intégrée doit être réelle.
• Point de terminaison singulier : une méthode de Romberg ouverte convenant aux intégrales qui présentent des singularités ou des infinités à l’une ou aux deux limites de l’intégration. Les estimations préliminaires de l'intégrale sont obtenues en utilisant les points médians des sous-intervalles, de sorte que la fonction n'est pas évaluée aux points de terminaison a et b. Les estimations sont concentrées près des extrémités de l'intervalle d'intégration, où les intégrandes singulières ou ayant une dérivée infinie sont susceptibles de changer le plus rapidement. Le nombre de sous-intervalles est triplé à chaque étape. Le nombre d'itérations de la méthode de Romberg ouverte est limité. Si la routine atteint cette limite sans donner de réponse, l'intégrale est signalée avec une erreur pour indiquer l’échec de conversion.
Informations supplémentaires
Lors de l'évaluation numérique d'une intégrale, Engineering Notebook utilise une méthode de quadrature adaptative. Vous ne voudrez peut-être pas modifier TOL, les points d'extrémités ou l'intégrande pour améliorer vos résultats :
• La diminution du paramètre TOL peut améliorer vos résultats, mais peut à un certain point empêcher l'intégrale de converger. Les plages de fonctionnement idéales sont comprises entre 10-4 et 10-6.
• La définition des extrémités de valeur élevée vers l'infini à l'aide de l'algorithme de l'extrémité infinie peut donner de meilleures réponses.
• Il est impossible d'évaluer précisément les intégrandes très pointues ou les fonctions dont la forme n'est pas facilement caractérisée par une échelle de longueur simple. Vous obtiendrez peut-être de meilleurs résultats en divisant une intégrale en parties et en intégrant séparément le pic depuis le reste du tracé.
• Généralement, Engineering Notebook n'est pas en mesure d'intégrer des fonctions ayant des singularités dans l'intervalle d'intégration. Les fonctions à incrément et en dents de scie présentant des discontinuités finies peuvent également aboutir à des intégrales non-convergentes. Si vous savez où se trouvent les singularités dans l'intégrande, il est souvent possible d'obtenir une évaluation numérique correcte en scindant l'intégrale en une somme d'intégrales avec ces points comme limites. Pour trouver d'éventuelles singularités ou discontinuités, représentez graphiquement l'intégrande.
• L'application de la méthode adaptative à une intégrale inappropriée produira sans doute un résultat numérique incorrect. L'algorithme d'intégration adaptative requiert que la fonction soit évaluée par un polynôme dans chaque division du sous-intervalle afin que la méthode de quadrature de Gauss puisse être utilisée. Le non-respect des conditions de continuité de l'intégrande peut produire des résultats inexacts ou un échec de convergence.