Exemple : Fonctions intégrales symboliques

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Le mot-clé float permet d'évaluer des fonctions qui ne peuvent être évaluées qu'avec le signe symbolique Egal, et non avec le signe numérique Egal.

Ei : intégrale exponentielle

1. Utilisez le mot-clé float pour évaluer la fonction Ei de manière numérique pour x=2 :

2. Evaluez la fonction intégrale exponentielle complexe pour un nombre réel x :

3. Utilisez la fonction clear pour effacer les valeurs symbolique et numérique précédentes de x :

4. Vérifiez que les intégrales suivantes renvoient des réponses en termes de fonction intégrale exponentielle :

<region id="ID0E1NFNB" actualWidth="269.55666666666673" actualHeight="80.552" top="326.40000000000003" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="26">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">τ</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <pow />
              <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">e</id>
              <apply>
                <neg />
                <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
              </apply>
            </apply>
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">∞</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <sequence>
          <id xml:space="preserve">assume</id>
          <apply>
            <greaterThan />
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
            <real>0</real>
          </apply>
        </sequence>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <limit direction="right" />
          <lambda>
            <boundVars>
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
            </boundVars>
            <apply>
              <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ei</id>
              <sequence>
                <real>1</real>
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
              </sequence>
            </apply>
          </lambda>
          <id labels="*" xml:space="preserve">x</id>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

<region id="ID0EIOFNB" actualWidth="303.94833333333332" actualHeight="80.552" top="422.40000000000009" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="27">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">τ</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <pow />
              <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">e</id>
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
            </apply>
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <apply>
            <neg />
            <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">∞</id>
          </apply>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <sequence>
          <id xml:space="preserve">assume</id>
          <apply>
            <lessOrEqual />
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
            <real>0</real>
          </apply>
        </sequence>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <neg />
          <parens>
            <apply>
              <limit direction="left" />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                </boundVars>
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ei</id>
                  <sequence>
                    <real>1</real>
                    <apply>
                      <neg />
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                    </apply>
                  </sequence>
                </apply>
              </lambda>
              <id labels="*" xml:space="preserve">x</id>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

<region id="ID0EWOFNB" actualWidth="607.6633333333333" actualHeight="80.552" top="518.40000000000009" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="28">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">τ</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <pow />
              <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">e</id>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <neg />
                  <id xml:space="preserve">b</id>
                </apply>
                <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
              </apply>
            </apply>
            <apply>
              <plus />
              <id xml:space="preserve">a</id>
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <real>0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">∞</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <sequence>
          <sequence>
            <id xml:space="preserve">assume</id>
            <apply>
              <greaterThan />
              <id xml:space="preserve">a</id>
              <real>0</real>
            </apply>
          </sequence>
          <apply>
            <greaterThan />
            <id xml:space="preserve">b</id>
            <real>0</real>
          </apply>
        </sequence>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <minus />
          <apply>
            <limit direction="right" />
            <lambda>
              <boundVars>
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
              </boundVars>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <pow />
                  <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">e</id>
                  <apply>
                    <mult />
                    <id labels="*" xml:space="preserve">a</id>
                    <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ei</id>
                  <sequence>
                    <real>1</real>
                    <apply>
                      <mult />
                      <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                      <parens>
                        <apply>
                          <plus />
                          <id labels="*" xml:space="preserve">a</id>
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                        </apply>
                      </parens>
                    </apply>
                  </sequence>
                </apply>
              </apply>
            </lambda>
            <real>0</real>
          </apply>
          <apply>
            <limit direction="left" />
            <lambda>
              <boundVars>
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
              </boundVars>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <pow />
                  <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">e</id>
                  <apply>
                    <mult />
                    <id labels="*" xml:space="preserve">a</id>
                    <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ei</id>
                  <sequence>
                    <real>1</real>
                    <apply>
                      <mult />
                      <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                      <parens>
                        <apply>
                          <plus />
                          <id labels="*" xml:space="preserve">a</id>
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                        </apply>
                      </parens>
                    </apply>
                  </sequence>
                </apply>
              </apply>
            </lambda>
            <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">∞</id>
          </apply>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

<region id="ID0EEPFNB" actualWidth="434.23" actualHeight="84.068000000000012" top="614.40000000000009" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="29">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">τ</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <pow />
              <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">e</id>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <neg />
                  <apply>
                    <pow />
                    <id xml:space="preserve">c</id>
                    <real>2</real>
                  </apply>
                </apply>
                <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
              </apply>
            </apply>
            <apply>
              <pow />
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
              <real>2</real>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <real>1</real>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">∞</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <sequence>
          <id xml:space="preserve">assume</id>
          <apply>
            <greaterThan />
            <id xml:space="preserve">c</id>
            <real>0</real>
          </apply>
        </sequence>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <neg />
          <parens>
            <apply>
              <limit direction="right" />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                </boundVars>
                <parens>
                  <apply>
                    <minus />
                    <apply>
                      <mult />
                      <apply>
                        <pow />
                        <id labels="*" xml:space="preserve">c</id>
                        <real>2</real>
                      </apply>
                      <apply>
                        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ei</id>
                        <sequence>
                          <real>1</real>
                          <apply>
                            <mult />
                            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                            <apply>
                              <pow />
                              <id labels="*" xml:space="preserve">c</id>
                              <real>2</real>
                            </apply>
                          </apply>
                        </sequence>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply>
                      <div />
                      <apply>
                        <pow />
                        <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">e</id>
                        <apply>
                          <neg />
                          <parens>
                            <apply>
                              <mult />
                              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                              <apply>
                                <pow />
                                <id labels="*" xml:space="preserve">c</id>
                                <real>2</real>
                              </apply>
                            </apply>
                          </parens>
                        </apply>
                      </apply>
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">τ</id>
                    </apply>
                  </apply>
                </parens>
              </lambda>
              <real>1</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

Ci : intégrale de la fonction cosinus

1. Utilisez le mot-clé float pour évaluer la fonction Ci à x=1 :

2. Vérifiez que les intégrales suivantes renvoient des réponses en termes de fonction intégrale de la fonction cosinus :

<region id="ID0EKUFNB" actualWidth="245.01000000000002" actualHeight="78.4" top="921.60000000000014" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="32">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">τ</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <id labels="FUNCTION" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">cos</id>
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
            </apply>
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">τ</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="CONSTANT" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">∞</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <sequence>
          <id xml:space="preserve">assume</id>
          <apply>
            <greaterThan />
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
            <real>0</real>
          </apply>
        </sequence>
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <neg />
          <apply>
            <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">Ci</id>
            <id labels="*" xml:space="preserve">x</id>
          </apply>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

Si : intégrale de la fonction sinus

1. Utilisez le mot-clé float pour évaluer la fonction Si à x=2 :

2. Vérifiez que les intégrales suivantes renvoient des réponses en termes de fonction intégrale de la fonction sinus :

FresnelC : intégrale de Fresnel en cosinus

1. Utilisez le mot-clé float pour évaluer la fonction FresnelC à x=2 :

<region id="ID0EE3FNB" actualWidth="321.37866729259491" actualHeight="86.815999859571463" top="1305.6000000000001" left="0" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="37">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">u</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <id labels="FUNCTION" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">cos</id>
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">u</id>
            </apply>
            <apply>
              <nthRoot />
              <placeholder />
              <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">u</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <real>0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <placeholder />
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <mult />
          <apply>
            <mult />
            <real>2</real>
            <apply>
              <pow />
              <parens>
                <apply>
                  <div />
                  <real>2</real>
                  <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
                </apply>
              </parens>
              <apply>
                <neg />
                <apply>
                  <div />
                  <real>1</real>
                  <real>2</real>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply>
            <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">FresnelC</id>
            <apply>
              <mult />
              <apply>
                <nthRoot />
                <placeholder />
                <apply>
                  <div />
                  <real>2</real>
                  <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply>
                <nthRoot />
                <placeholder />
                <id labels="*" xml:space="preserve">x</id>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

FresnelS : intégrale de Fresnel en sinus

1. Utilisez le mot-clé float pour évaluer la fonction FresnelS à x=2 :

2. Vérifiez que les intégrales suivantes renvoient un résultat en termes d'intégrales de Fresnel en cosinus :

<region id="ID0ELAGNB" actualWidth="769.32733458518965" actualHeight="75.306666860659931" top="1478.4000000000003" left="0" width="769.32733458518965" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="39">
    <symEval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <id labels="FUNCTION" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">sin</id>
            <apply>
              <plus />
              <apply>
                <plus />
                <apply>
                  <pow />
                  <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
                  <real>2</real>
                </apply>
                <apply>
                  <mult />
                  <id xml:space="preserve">b</id>
                  <id labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xml:space="preserve">x</id>
                </apply>
              </apply>
              <id xml:space="preserve">c</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <placeholder />
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <placeholder />
        </upperBound>
      </apply>
      <command>
        <placeholder />
      </command>
      <symResult>
        <apply>
          <mult />
          <apply>
            <pow />
            <parens>
              <apply>
                <div />
                <real>2</real>
                <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
              </apply>
            </parens>
            <apply>
              <neg />
              <apply>
                <div />
                <real>1</real>
                <real>2</real>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <parens>
            <apply>
              <plus />
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">cos</id>
                  <apply>
                    <div />
                    <apply>
                      <minus />
                      <apply>
                        <mult />
                        <real>4</real>
                        <id labels="*" xml:space="preserve">c</id>
                      </apply>
                      <apply>
                        <pow />
                        <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                        <real>2</real>
                      </apply>
                    </apply>
                    <real>4</real>
                  </apply>
                </apply>
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">FresnelS</id>
                  <apply>
                    <div />
                    <apply>
                      <mult />
                      <parens>
                        <apply>
                          <plus />
                          <apply>
                            <mult />
                            <real>2</real>
                            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">x</id>
                          </apply>
                          <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                        </apply>
                      </parens>
                      <apply>
                        <nthRoot />
                        <placeholder />
                        <apply>
                          <div />
                          <real>2</real>
                          <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <real>2</real>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">sin</id>
                  <apply>
                    <div />
                    <apply>
                      <minus />
                      <apply>
                        <mult />
                        <real>4</real>
                        <id labels="*" xml:space="preserve">c</id>
                      </apply>
                      <apply>
                        <pow />
                        <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                        <real>2</real>
                      </apply>
                    </apply>
                    <real>4</real>
                  </apply>
                </apply>
                <apply>
                  <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">FresnelC</id>
                  <apply>
                    <div />
                    <apply>
                      <mult />
                      <parens>
                        <apply>
                          <plus />
                          <apply>
                            <mult />
                            <real>2</real>
                            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">x</id>
                          </apply>
                          <id labels="*" xml:space="preserve">b</id>
                        </apply>
                      </parens>
                      <apply>
                        <nthRoot />
                        <placeholder />
                        <apply>
                          <div />
                          <real>2</real>
                          <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <real>2</real>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

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A propos de l'analyse symbolique

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