Solver EDO

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), la ecuación 2.432 y la ecuación 2.444, que gobiernan la traslación y rotación 1-GDL de los límites y volúmenes respectivamente, se resuelven de forma numérica en . Concretamente, para calcular un movimiento de límite y volumen y un desplazamiento para la redefinición de malla, se adoptan los siguientes esquemas de paso de tiempo para integrar las ecuaciones EDO: solver explícito de adherencia, Euler y Runge-Kutta.

Integración de una ecuación de traslación de un GDL

Si se sustituyen la ecuación 2.434, la ecuación 2.435, la ecuación 2.436 en la ecuación 2.432 y se agrupan los términos explícitos de fuerza en un único término, para brevedad, se vuelve a escribir la ecuación de traslación 1-GDL de la siguiente forma:

Ecuación 2.455

donde el término de fuerza calculado explícitamente es:

Ecuación 2.456

Con las condiciones iniciales y de límite dadas, el desplazamiento del cuerpo sólido se obtiene al integrar la ecuación 2.455 mediante esquemas de paso de tiempo explícitos. Con el paso del tiempo , se disponen de formulaciones generales de la siguiente manera:

Ecuación 2.457

Ecuación 2.458

donde los factores de ponderación suman la unidad:

Ecuación 2.459

Con la elección de factores de ponderación, se derivan distintos esquemas. Por ejemplo, los esquemas explícitos de Euler y Runge-Kutta son los siguientes:

  • Solver explícito de Euler (1er orden)

    Con y , se dispone del esquema explícito de Euler en lo siguiente:

    Ecuación 2.460

    Ecuación 2.461

  • Solver explícito de Runge-Kutta

    Los solvers de Runge-Kutta son esquemas explícitos de 2o orden y de 4o orden, que son los siguientes:

    • Esquema de segundo orden

      Ecuación 2.462

      Ecuación 2.463

    • Esquema de cuarto orden

      Ecuación 2.464

      Ecuación 2.465

      donde,

      Ecuación 2.466

      Ecuación 2.467

      Ecuación 2.468

      Ecuación 2.469

  • Solver de adherencia (explícito)

    Además de los esquemas estándar de Euler y Runge-Kutta, ha desarrollado su solver de adherencia para integrar la ecuación de traslación EDO 1-GDL. Es el método por defecto para los movimientos dinámicos de cuerpos sólidos.

Integración de una ecuación de rotación de un GDL

En cuanto a la traslación, mediante la sustitución de la ecuación 2.446 y la ecuación 2.447 en la ecuación 2.444 y la agrupación de los términos de torsión explícitos en un término único para brevedad, se vuelve a escribir la ecuación de movimiento de rotación 1-GDL, la ecuación 2.444 de la forma siguiente:

Ecuación 2.470

donde el término de torsión que se calcula explícitamente es:

Ecuación 2.471

Con las condiciones iniciales y de límite dadas, el ángulo de rotación se obtiene al integrar la ecuación 2.470 mediante esquemas de paso de tiempo explícitos. Con el paso del tiempo , se disponen de formulaciones generales de la siguiente manera:

Ecuación 2.472

Ecuación 2.473

donde los factores de ponderación suman la unidad:

Ecuación 2.474

Con la elección de factores de ponderación, se derivan fácilmente diferentes esquemas numéricos. De nuevo, los esquemas explícitos de Euler y Runge-Kutta se indican a continuación:

  • Solver explícito de Euler (1er orden)

    Con y , se dispone del esquema explícito de Euler en lo siguiente:

    Ecuación 2.475

    Ecuación 2.476

  • Solver explícito de Runge-Kutta

    Los solvers de Runge-Kutta son esquemas explícitos de 2o orden y de 4o orden, que son los siguientes:

    • Esquema de segundo orden

      Ecuación 2.477

      Ecuación 2.478

    • Esquema de cuarto orden

      Ecuación 2.479

      Ecuación 2.480

      donde,

      Ecuación 2.481

      Ecuación 2.482

      Ecuación 2.483

      Ecuación 2.484

  • Solver de adherencia (explícito)

    Además de los esquemas estándar de Euler y Runge-Kutta, ha desarrollado su solver de adherencia para integrar la ecuación 2.444 ODE de rotación 1-GDL. Es el método por defecto para los movimientos dinámicos de cuerpos sólidos.