Quando um raio de radiação atravessa uma camada de um meio absorvente, emissor e difusor em determinada direção, o raio perde energia por causa da absorção e difusão a partir do raio. O raio também ganha energia de fontes de luz no meio por emissão e difusão em direção ao raio. O balanceamento de energia total de um raio sobre uma camada infinita do meio resulta em uma equação diferencial, conhecida como equação de transporte radiativo (RTE).

Para derivar a equação de transporte radiativo, considere um raio de radiação de entrada com intensidade de I atravessando um meio, por exemplo, um gás, com espessura incremental ds na direção de , conforme exibido na figura. Através da camada do meio, a incidência no local e a direção mudam de quatro formas diferentes, aumentando (energia ganha +) ou diminuindo (energia perdida -) a intensidade de radiação :

• Absorção — Um meio, por exemplo, gás, absorve uma fração da radiação atravessando-o. Com o coeficiente de absorção , a energia de radiação perdida por meio de absorção é:

  equação 2.282

• Difusão — Um meio, por exemplo, gás, causa difusão de uma fração da energia de radiação para outra direção (longe da direção ) quando o raio atravessa o meio. Com o coeficiente de difusão , a energia de radiação perdida por meio de difusão é:

  Equação 2.283

• Emissão — Um meio emite energia de radiação para o raio como um corpo cinza de acordo com a temperatura local () e as características de emissão para o raio. De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann e a reciprocidade entre emissão e absorção, a equação 2.274 e a equação 2.279, a radiância emitida pelo meio é:

  Além disso, considerando que n é o índice de refração do meio (definido como a razão da velocidade da luz no vácuo e sua velocidade no meio especificado), a energia real que o raio de radiação ganha é:

  Equação 2.284

• Difusão de outras radiações — Uma fração de outras origens de radiação na camada do meio é difundida para o raio de radiação dependente dos vetores de posição e direção e . Com a introdução de representando a direção e o ângulo sólido do feixe de radiação e representando a função de fase, temos a fração de intensidade de um raio percorrendo todas as direções e sendo difundido para a direção da seguinte forma:

  equação 2.285

  Observe que, na equação 2.285, os processos de difusão são ignorados.

  Com a radiação de entrada e a radiação de saída , o balanceamento de energia radiativa na direção tem a seguinte forma:

  equação 2.286

  Ao substituir a equação 2.282 pela equação 2.285 na equação 2.286 e dividi-la por , o resultado é a equação de transporte radiativo (RTE) a seguir:

  equação 2.287

  A RTE é uma equação integro-diferencial de primeira ordem para a intensidade de radiação em uma direção fixa . Para resolver essa equação dentro de um domínio, é necessário o campo de temperatura dentro do domínio, além de serem necessárias condições de limite para nas superfícies internas e externas e, também, nas interfaces entre dois meios diferentes.

  A temperatura do meio local é obtida ao resolver a equação de conservação de energia total (incluindo as origens radiativas), descrita no módulo Calor. Para a radiação térmica, no entanto, o tratamento de limite é complexo e depende dos modelos de radiação. Em geral, um limite pode ser um meio opaco que emite, reflete e absorve, ou pode ser um meio semitransparente que também transmite. A reflexão e a transmissão podem ser difusas ou especulares, ou difusas e especulares. Por exemplo, em um limite opaco emissor e refletor com radiação cinza e dependendo do tipo de reflexo, a intensidade de um raio pode ser expressa da seguinte forma:

  • Limite opaco com emissão e reflexão difusas:

    Equação 2.288

  • Limite opaco com emissão difusa e reflexão especular:

    Equação 2.289

    em que

    ⃗

    vetor de unidade normal a superfície na posição

    direção e ângulo sólido de um raio refletido de forma difusa (reflexão uniforme em todas as direções)

    direção do raio refletida de forma especular (reflexão perfeita, dependendo da incidência)

    refletividade de superfície, refletividade difusa e refletividade especular, respectivamente, usando a relação a seguir:

    equação 2.290

    Com as condições de limite fornecidas, a equação 2.287 controla o transporte da intensidade de radiação em uma direção especificada. Para radiações cinzas, a equação 2.287 deve ser resolvida em todas as diferentes direções dentro de uma esfera. Para radiações não cinzas, a intensidade também depende dos comprimentos de onda. Portanto, ela precisa ser resolvida em todas as direções sobre o espectro inteiro de comprimentos de onda. Claramente a solução direta da equação de transferência radiativa é muito demorada. Por isso, em muitas simulações de engenharia, é melhor usar modelos simplificados, porém, aproximados, para levar em conta as dependências direcional e espectral. Em simulações de CFD, os modelos de radiação a seguir são adotados com frequência e sua descrição detalhada pode ser encontrada nas referências.

    Referências: R. Siegel and J. R. Howell, Thermal Radiation Heat Transfer”, Hemisphere Publishing Corporation, Washington DC, 1992.

    • Modelo de radiação de Rosseland

      Referências: R, Siegel and J. R. Howell, Thermal Radiation Heat Transfer”, Hemisphere Publishing Corporation, Washington DC, 1992.

    • Modelo de radiação P-1

      Referências: R. Siegel and J. R. Howell, Thermal Radiation Heat Transfer, Hemisphere Publishing Corporation, Washington DC, 1992.

    • Modelo de radiação de transferência discreta

      Referências: N. G. Shah, A New Method of Computation of Radiant Heat Transfer in Combustion Chambers”, PhD thesis, Imperial College of Science and Technology, London, England, 1979.

      Referências: M. G. Carvalho, T. Farias, and P. Fontes, Predicting Radiative Heat Transfer in Absorbing, Emitting, and Scattering Media Using the Discrete Transfer Method”, In W. A. Fiveland et al., editor, Fundamentals of Radiation Heat Transfer, volume 160, pages 17-26. ASME HTD, 1991.

    • Modelo de radiação de superfície a superfície (S2S)

      Referências: R. Siegel and J. R. Howell, Thermal Radiation Heat Transfer”, Hemisphere Publishing Corporation, Washington DC, 1992.

    • Modelo de radiação de ordenadas discretas (DO)

      Referências: G. D. Raithby and E. H. Chui, A Finite-Volume Method for Predicting a Radiant Heat Transfer in Enclosures with Participating Media”, J. Heat Transfer, 112:415-423, 1990.

      Referências: E. H. Chui and G. D. Raithby, Computation of Radiant Heat Transfer on a Non-Orthogonal Mesh Using the Finite-Volume Method”, Numerical Heat Transfer, Part B, 23:269-288, 1993.

    Cada modelo tem suas próprias vantagens e limitações com relação a precisão e custo. Por exemplo, embora o modelo de Rosseland não resolva uma equação de transporte para radiação incidente, é o modelo de radiação mais rápido e requer a menos memória extra. Rosseland pode ser usado somente para meios opticamente espessos (espessura óptica é o logaritmo natural da razão entre potência radiante incidente e potência radiante transmitida em um meio) por causa da simplificação excessiva da equação de transporte radiativo.

    O modelo de radiação de ordenadas discretas (DO) transforma a equação 2.287 em uma equação de transporte para a intensidade da radiação nas coordenadas espaciais e a resolve sobre um número finito de ângulos sólidos discretos associados à direção do vetor . O número de ângulos sólidos selecionados determina diretamente a precisão e o custo computacional. A abordagem do modelo DO também é idêntica à abordagem usada para equações de fluxo de fluido e de energia. No momento, é o modelo de radiação mais geral que abrange todo o intervalo de espessuras ópticas e pode ser aplicado a problemas desde radiação de superfície a superfície até radiação em meio participante, como um sistema de combustão. No entanto, o custo computacional do modelo DO é alto para radiações não cinzas.

    Entre os modelos de radiação mencionados acima, o modelo de radiação de superfície a superfície (S2S) é particularmente bom para a modelagem da transferência radiativa de compartimento sem considerar os meios participantes. Os exemplos típicos são os aquecedores de ambiente radiativos e os sistemas da parte interior do capô e da carroceria de automóveis. Nessas situações, os modelos de radiação para a radiação em meio participante não são sempre eficientes. Comparado ao modelo de radiação DO, o modelo S2S é mais rápido por iteração, embora o cálculo do fator de vista possa requerer uso intensivo de CPU. No , a opção atual de modelo para transferência de calor radiativa é o modelo de radiação S2S.

O modelo de radiação de superfície a superfície é usado para a troca de radiação em um compartimento de superfícies cinzas difusas sem meios participantes. A troca de energia radiativa de superfície a superfície depende de dois fatores principais: as características radiativas das superfícies envolvidas e os parâmetros geométricos, incluindo áreas e formas da superfície e a posição relativa de uma com relação à outra (distância de separação e orientação). No modelo de radiação S2S, a transferência de calor radiativa de superfície é considerada pelo modelo de radiação cinza difusa, enquanto os parâmetros geométricos são levados em conta por uma função geométrica chamada fator de vista.

• Radiação cinza difusa

  O modelo de radiação S2S pressupõe que as superfícies sejam cinzas e difusas (radiação cinza). Para uma superfície cinza, a emissividade e a absortividade das superfícies são independentes do comprimento de onda dos raios de saída e de entrada. De acordo com a lei de Kirchhoff da radiação térmica, na equação 2.274, a emissividade é igual à absortividade:

  Equação 2.291

  Além disso, com a suposição de uma superfície difusa, não ocorre nenhuma reflexão especular na superfície e a refletividade () da radiação incidente na superfície é isotrópica com relação ao ângulo sólido. Na equação 2.290, a refletividade da superfície é determinada da seguinte forma:

  Equação 2.292

  em que

  reflexão especular na superfície

  refletividade difusa

  Para uma superfície não opaca ou semitransparente, a transmissividade também é independente dos comprimentos de onda:

  Equação 2.293

  O modelo de superfície a superfície cinzas difusas pressupõe que a troca de energia radiativa entre superfícies praticamente não é afetada pelo meio que as separa. Portanto, se uma quantidade específica de energia radiante incidir em uma superfície por unidade de área (irradiância), as porções de energia radiativa refletida, absorvida e transmitida são , e respectivamente. Como as superfícies são opacas para a radiação térmica no espectro de infravermelho para a maioria das aplicações, as superfícies radiativas podem ser consideradas como opacas. Portanto, a transmissividade pode ser negligenciada . Na equação 2.273 e equação 2.274, a refletividade da superfície é expressa da seguinte forma:

  Equação 2.294

  Com a suposição da radiação de superfície cinza difusa, a equação de modelagem S2S é construída com base na conservação de energia em cada superfície.

• Equação de modelagem S2S

  A principal suposição do modelo S2S é a de que, em um sistema fechado, a transferência de calor radiativa ocorre somente entre superfícies cinzas difusas (radiação cinza). A absorção, a emissão ou a difusão da radiação no meio que separa as superfícies podem ser ignoradas. Portanto, considere somente a radiação de superfície a superfície para análise numérica.

  O fluxo de energia radiativa que sai de uma superfície específica consiste em energia diretamente emitida e refletida. O fluxo de energia refletida depende do fluxo de energia incidente dos arredores, que pode ser expresso em função do fluxo de energia que sai de todas as outras superfícies. Para calcular o fluxo líquido de energia radiativa em uma superfície, é recomendado definir a radiosidade , que é a soma da potência emissiva por unidade de área (emitância) e da parte refletida da potência de radiação recebida pela superfície por unidade de área (irradiância) :

  Equação 2.295

  Para uma superfície opaca, , a radiosidade é obtida da seguinte forma:

  equação 2.296

  Portanto, com as suposições no modelo S2S, o sistema de equações lineares a seguir pode ser formulado para calcular a radiosidade em cada superfície de um sistema fechado. Se representa a radiosidade em uma superfície arbitrária , é a temperatura da superfície e é o fator de vista entre as superfícies e , a radiosidade na superfície é obtida da seguinte forma:

  equação 2.297

  em que que é o número de superfícies que participam da transferência de calor radiativa. Usando o símbolo de Kronecker , , e aplicando a lei de Stefan-Boltzmann para radiação cinza, equação 2.278, é possível reorganizar a equação 2.297 e derivar a equação de modelagem S2S:

  equação 2.298

  Com o fator de vista previamente calculado , o sistema da equação 2.298 linear é resolvido a fim de obter para as superfícies participantes. Assim, os fluxos líquidos de calor de radiação em cada superfície são calculados facilmente. Para a superfície , o fluxo líquido de calor radiativo é a diferença entre a radiação de saída () e a radiação de entrada () por unidade de área. Na equação 2.278 e equação 2.296, é possível derivar a formulação de fluxo a seguir:

  Equação 2.299

  Para uma área de superfície específica , os fluxos líquidos de calor de radiação que saem da superfície são calculados da seguinte forma:

  Equação 2.300

  O modelo S2S é composto de um sistema de equações lineares na forma da equação 2.298. A vantagem da aplicação do modelo é que, para fatores de vista e temperaturas específicos, é possível calcular os fluxos líquidos de calor ao resolver um sistema de equações lineares, que são calculadas aplicando-se algoritmos numéricos. No entanto, a maior dificuldade da aplicação do modelo de superfície a superfície proposto é o cálculo de fatores de vista, para um número n de superfícies participantes. Esse cálculo pode demorar muito tempo, especialmente com um aumento no número de superfícies.

Na equação 2.298 de modelagem S2S, o fator de vista é a proporção da radiação que sai da superfície e atinge a superfície . Conforme exibido na figura 2.37, pressupondo que seja a área diferencial na superfície , seja a área diferencial na superfície e a distância entre e seja , o fator de vista é expresso de a a uma distância da seguinte forma:

Equação 2.301

em que e são os ângulos entre as direções normais das superfícies e um raio entre as duas áreas diferenciais.

Figura 2.37

Se e são as áreas fornecidas das superfícies e respectivamente, o fator de vista da superfície à superfície é a integral média de área da equação 2.301 sobre as superfícies e :

Equação 2.302

Observe que a radiação de superfície a superfície ocorre somente quando as duas superfícies são visíveis uma a outra, ou o fator de vista é diferente de zero. Usando o símbolo de Kronecker, , com relação à visibilidade entre e :

Equação 2.303

É possível reescrever a equação 2.302 da seguinte forma:

Equação 2.304

Para quaisquer duas superfícies visíveis uma a outra, uma superfície específica somente irradia uma porção da energia radiativa de saída para a superfície , conforme exibido na figura 2.378. Portanto, o fator de vista sem dimensão representa a porção de energia que sai da superfície e alcança a superfície . As características estão na lista a seguir:

Figura 2.378

• Soma dos fatores de vista — Como a radiação que sai de uma superfície é conservada, a soma de todos os fatores de vista de uma superfície específica é igual a 1 (uma unidade). Para um sistema fechado de superfícies:

  Equação 2.305

• Superfície visível a si mesma — Como a radiação percorre linhas retas, nenhum raio de radiação pode sair de uma superfície convexa e atingir a mesma superfície mais tarde. Portanto, superfícies convexas não são visíveis a si mesmas:

  Equação 2.306

  Para superfícies côncavas, o raio de saída de uma posição na superfície pode atingir a mesma superfície mais tarde em uma posição diferente. Portanto, a superfície côncava pode ser visível a si mesma:

  Equação 2.307

• Superposição — Para um sistema de superfícies, se uma superfície específica irradia para um número de superfícies (), o fator de vista entre a superfície e o número de superfícies é igual à soma dos fatores de vista entre a superfície e cada uma das superfícies:

  Equação 2.308

  A regra de superposição ou a regra de soma é útil quando uma geometria não está disponível com gráficos fornecidos. Com a regra de superposição, é possível expressar a geometria buscada usando a soma ou a diferença das geometrias conhecidas.

• Reciprocidade — A equação 2.304 define o fator de vista como a fração da energia radiativa que sai da superfície e alcança a superfície . Da mesma maneira, o fator de vista , que é a porção de energia que sai da superfície e alcança a superfície , é expresso da seguinte forma:

  Equação 2.309

  Se a equação 2.309 é comparada com a equação 2.304, obtemos o relacionamento a seguir:

  Equação 2.310

  A equação 2.310 é chamada de reciprocidade de fatores de vista. Com o teorema da reciprocidade, é possível calcular de forma direta somente um dos pares de fatores de vista.

O modelo de radiação S2S consome muita computação quando o número de superfícies de irradiação é grande. Para diminuir o tempo de computação e o requisito de armazenamento, é possível reduzir o número de superfícies de irradiação juntando um número específico de faces de célula de limite adjacentes para criar agrupamentos de superfície. Assim, a radiosidade () é calculada para os agrupamentos de superfície. Em seguida, esses valores são distribuídos para as faces de célula de limite dentro de cada agrupamento a fim de calcular as temperaturas de parede. Como os termos de origem de radiação são altamente não lineares (proporcionais à quarta potência da temperatura), certifique-se de calcular a temperatura média dos agrupamentos de superfícies e distribuir os termos de fluxo e de origem adequadamente entre as faces de limite que formam os agrupamentos.

A temperatura do agrupamento de superfícies é obtida pela média de área da temperatura da face de limite, conforme exibido na equação a seguir:

Equação 2.311

em que é a temperatura do agrupamento de superfícies e e são a área de face e a temperatura da célula de limite em simulações do CFA. A soma é feita para todas as faces dentro de um agrupamento de superfícies.