Na abordagem de Lagrange, o movimento de partículas é determinado pelo balanceamento de forças na partícula e as condições sob as quais a partícula é liberada (condições iniciais). Para modelar a fase de partícula discreta, as equações de movimento para partículas são, primeiramente, formadas com base no balanceamento de forças. Em seguida, são especificadas as condições de limite e iniciais para as partículas. Finalmente, a integração da equação de partícula do movimento é realizada para o rastreamento de partículas.

• Balanceamento de forças de partículas

  Para uma partícula discreta percorrendo um meio fluido contínuo, o movimento da partícula é determinado pela força efetiva que atua nela. De acordo com a segunda lei de Newton, é possível expressar o balanceamento de forças na partícula usando a forma de Lagrange a seguir:

  Equação 2.366

  em que

  massa da partícula (kg)

  velocidade da partícula (m/s)

  força efetiva atuando na partícula (N), que afeta a aceleração da partícula

  Em um sistema de coordenadas cartesiano, se

  ponto

  local da partícula

  componentes de velocidade da partícula

  Com a abordagem lagrangiana, a velocidade da partícula é definida da seguinte forma:

  Equação 2.367

  Para uma partícula esférica que ocupa um volume com densidade e diâmetro (o aceita o raio como entrada), a massa da partícula é calculada da seguinte forma:

  Equação 2.368

  Os fatores que contribuem com a força efetiva são a força de arrasto de fluido para partícula, o efeito da gravidade e as forças causadas pela rotação do domínio (forças centrípeta e de Coriolis). Além dos fatores de contribuição adicionais como outras forças causadas pela diferença de velocidade entre partícula e fluido e o deslocamento do fluido pela partícula. No , pode ser expressa da seguinte forma:

  Equação 2.369

  em que

  força de arrasto (N)

  força da gravidade (N)

  outras forças, como força de massa virtual, força do gradiente de pressão, força de erguimento especificada pelo usuário (n)

  Por default, somente a força de arrasto na partícula é considerada.

  Ao substituir a equação 2.369 na equação 2.366 e dividi-la por , a equação de balanceamento de forças resolvida para uma partícula tem a forma a seguir:

  Equação 2.370

  Para fechar a equação 2.370, é necessário calcular a contribuição de cada força individual. Os submodelos ou as formulações adotados no são os seguintes:

  • Força de arrasto em partículas

    A força de arrasto aerodinâmica em uma partícula é proporcional à velocidade de escorregamento da fase, a diferença entre as velocidades do fluido e da partícula. Pressupondo que, no mesmo espaço em que a partícula está localizada em determinado momento, a velocidade do fluxo de fluido seja igual a , a força de arrasto será expressa da seguinte forma:

    Equação 2.371

    em que

    densidade de fase fluida

    área da partícula projetada na direção do fluxo

    Para uma partícula esférica com diâmetro , é a área máxima da seção cruzada:

    Equação 2.372

    é o coeficiente de arrasto, que depende do número de Reynolds relativo, :

    Equação 2.373

    em que é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa-s).

    O coeficiente de arrasto é usado para obter resultados experimentais do arrasto viscoso de uma esfera sólida. Várias correlações de modelos ou empíricas são desenvolvidas para determinar a função de arrasto () e para estimar a troca entre fluido e partícula. Para partículas esféricas suaves, entre vários modelos, a função mais completa é a correlação de Morsi e Alexander,

    Referências: S. A. Morsi and A. J. Alexander, "An Investigation of Particle Trajectories in Two-Phase Flow Systems", J. Fluid Mech., 55(2) 193–208, September 26 1972.

    que tem a expressão geral a seguir:

    Equação 2.374

    em que , e são constantes de modelo, cujos valores dependem do número de Reynolds relativo, como exibido na tabela a seguir:

    0 < <=0.1

    0

    24

    0

    0.1 < <=1

    3.690

    22.73

    0.0903

    1< <=10

    1.222

    29.1667

    -3.8889

    10 < <=100

    0.6167

    46.50

    -116.67

    100 < <=1000

    0.3644

    98.33

    -2778

    1000 < <=5000

    0.357

    148.62

    -47500

    5000 < <=10000

    0.46

    -490.546

    578700

    >10000

    0.5191

    -1662.5

    5416700

    A tabela demonstra que, para números de Reynolds de partículas muito baixos (regime viscoso), , o coeficiente de arrasto para o fluxo que passa por partículas esféricas segue a lei de Stokes:

    Equação 2.375

    Por outro lado, quando é suficientemente grande de modo que os efeitos inerciais dominem os efeitos viscosos, o fluxo fluido-partícula segue o regime inercial ou de Newton. Na tabela, é possível observar que o coeficiente de arrasto torna-se menos dependente do número de Reynolds relativo. Além disso, uma constante de valor geralmente é usada, em vez do modelo completo de Morsi e Alexander:

    Equação 2.376

    Na região de transição entre os regimes viscoso e inercial, , para partículas esféricas, ambos os efeitos viscoso e inercial são importantes. Portanto, o coeficiente de arrasto é uma função complexa do número de Reynolds relativo, que pode ser estimado pelo modelo de Morsi e Alexander ou outras correlações. Por exemplo, de acordo com o modelo de Schiller e Naumann:

    Referências: L. Schiller and Z. Naumann, "Z. Ver. Deutsch. Ing. 77. 318. 1935.

    Equação 2.377

    Para simplificar a expressão do termo de força de arrasto na equação 2.370, o tempo de relaxação das partículas, , é introduzido:

    Equação 2.378

    Se a equação 2.368, equação 2.371, equação 2.372, equação 2.373 e equação 2.378 forem combinadas, a força de arrasto por unidade de massa de partícula terá a formulação a seguir:

    Equação 2.379

    Portanto, a equação de balanceamento de forças de partículas default (somente a força de arrasto é considerada) é expressa da seguinte forma:

    Equação 2.380

• Inclusão do termo de gravidade

  Por default, o termo de gravidade não é incluído na equação de balanceamento de forças de partículas. É possível ativar o termo de gravidade no . Para uma partícula imersa no fluxo de fluido, o efeito da gravidade resulta em uma força de empuxo, que é igual ao peso do fluido deslocado pela partícula. Pressupondo que seja a massa de fluido deslocada pela partícula e seja o vetor de gravidade, a força resultante tem a seguinte forma:

  Equação 2.381

  Ou a força por unidade de massa de partícula é a seguinte:

  Equação 2.382

  E a equação de balanceamento de forças tem a seguinte forma:

  Equação 2.383

• Força de rotação em partículas

  Para fluxos de fluido de modelo em um quadro de referência em rotação, o termo de força adicional induzida por rotação é parte intrínseca da aceleração da partícula. Ele consiste no efeito das forças de Coriolis e centrípeta:

  Equação 2.384

  Ou a força de rotação por unidade de massa de partícula é a seguinte:

  Equação 2.385

  em que

  velocidade angular do quadro de referência em rotação

  vetor conectando o centro do eixo e o local da partícula

  Com a adição desse termo de força, a equação de balanceamento de partículas é a seguinte:

  Equação 2.386

  A equação 2.386 controla o movimento de uma partícula em um sistema de Lagrange quando o fluxo é resolvido em um quadro de referência em rotação.

Na abordagem de Lagrange, o controle de partículas é um procedimento transiente. Portanto, são necessárias as condições de limite e iniciais para calcular as trajetórias das partículas. As condições de limite definem a reação da partícula nos limites do domínio computacional, particularmente, nas interações entre parede e partícula. As condições iniciais determinam a liberação da partícula a partir dos limites, incluindo posição, frequência, velocidade, tipo de partícula e tamanho (raio) de liberação e o número de partículas.

O fornece uma condição de limite de fase discreta para determinar a reação de partículas em um limite. Quando uma partícula alcança um limite do domínio de fluxo (incluindo o limite físico e a interface sólido-fluido), por exemplo, uma parede ou um limite de entrada, ocorre um dos cenários a seguir:

• A partícula reflete por meio de uma colisão elástica ou inelástica.

• A partícula escapa através do limite e não é possível fazer o seu cálculo no ponto de impacto com o limite.

• A partícula fica presa na parede e não é possível fazer o seu cálculo no ponto de impacto com o limite.

• A partícula passa através de uma zona de limite interna, como um ventilador ou membrana porosa.

• A interação partícula-limite é determinada por métodos definidos pelo usuário para modelar a reação da partícula quando ela atinge o limite.

Com base na reação da partícula nos limites, as condições de limite de fluxo e as interfaces são reagrupadas em três tipos de condições de limite de partículas discretas: aberto, simetria e parede.

• Limite de partícula discreta aberto

  Partículas ou linhas de fluxo podem sair do domínio computacional. Um limite aberto é um limite de entrada ou saída da fase de fluxo de fluido no sistema de Euler. Também aplica-se a limites de fluxo, como de parede e simetria. Em um limite de partícula aberto, a partícula sai do domínio ou entra no domínio, dependendo da sua direção de velocidade.

  Vamos supor que seja o vetor normal da unidade para o limite aberto que aponta na direção para longe do domínio computacional, com a velocidade de limite da partícula . Se , o vetor de velocidade aponta para longe do domínio computacional. Isso indica que a partícula escapa através do limite e não é possível fazer o seu cálculo no ponto de impacto com o limite.

• Limite de partícula de simetria

  Quando uma partícula ou linha de emissão no domínio computacional atinge um limite de partícula discreta de simetria, a condição de limite reflete-a de volta ao domínio. Para a fase de partícula discreta, um limite de partícula de simetria, normalmente, corresponde a uma simetria de fluxo no sistema de Euler. Ele também pode ser um local para a liberação da partícula.

  Vamos supor que seja o vetor de unidade normal a simetria no ponto da simetria, com sua direção apontando para longe da simetria, em direção ao domínio computacional. e são introduzidos para indicar o ângulo de velocidade de impacto da partícula no limite de simetria de partícula, conforme exibido na figura a seguir. Como a partícula reflete ao atingir a simetria, sua energia cinética total é conservada: a velocidade tangencial permanece a mesma, enquanto o componente de velocidade normal muda somente o sinal. A condição de limite de simetria de partícula é expressa da seguinte forma:

  Equação 2.387

  em que

  ângulo no ponto da simetria (graus)

  magnitude da velocidade incidente da partícula (m/s)

  magnitude da velocidade refletida da partícula (m/s)

• Limite de partícula de parede

  Para gotículas líquidas, a interação gotícula-parede depende da temperatura da parede, do material e da rugosidade da parede, do ângulo de impacto e da velocidade de impacto, da existência de um filme de parede e de vários outros parâmetros. Como resultado, uma gama de submodelos é usada para reproduzir os tipos diferentes de interações parede-partícula. Esses submodelos levam em conta os impactos dos parâmetros de fluxo e das condições de limite de parede.

  No modelo de partícula discreta atual, pressupõe-se que a forma, o tamanho e a massa das partículas permaneçam inalterados. Além disso, considera-se que o fluido e as partículas estejam em equilíbrio térmico. Portanto, uma abordagem simples descreve o processo de partículas (tem massa) em colisão com paredes: durante o processo de colisão, as partículas trocam momento somente com a parede e as partículas têm uma forma, dentre três, de interagir com a parede. As três formas são o reflexo perfeito, a adesão e o reflexo parcial.

  • Reflexo perfeito — A partícula ou linha de emissão reflete quando ela atinge uma parede. O momento e a energia cinética da partícula são perfeitamente conservados. O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, enquanto o componente de velocidade normal da parede muda de sinal:

    Equação 2.388

    em que

    vetor de unidade normal da parede

    ângulo no limite da parede (graus)

    magnitude da velocidade incidente da partícula (m/s)

    magnitude da velocidade de reflexo da partícula (m/s)

  • Adesão — A partícula colide com a parede, perde todo o seu momento, toda a sua energia e adere à parede:

    Sem levar em consideração a acumulação de partículas ao longo da parede, não é possível fazer o cálculo da partícula no ponto de impacto com o limite.

  • Reflexo parcial — Condição de partícula de parede entre o reflexo perfeito e a adesão. Uma partícula ou linha de emissão reflete em uma parede, mas perde parte da energia em direção normal, tangencial ou direção normal e tangencial. A energia de momento e cinética da partícula não é conservada e o ângulo de incidência é, geralmente, maior que o ângulo de reflexão:

    A perda de energia na interação partícula-parede é especificada por entradas do usuário:

    • Perda de energia normal — Especifica a perda do componente normal de energia cinética de uma partícula na parede.

    • Perda de energia tangencial — Especifica a perda do componente tangencial de energia cinética de uma partícula na parede.

    No , o reflexo ou adesão de uma partícula é determinados pelos valores especificados das velocidades normais mínima e máxima. Pressupondo que seja a velocidade normal máxima especificada da partícula e seja a velocidade normal mínima especificada da partícula, temos as condições a seguir:

    • Se ou , a partícula é refletida ao atingir a parede.

    • Se , a partícula adere à parede.

    Os modelos de interações partícula-parede aplicam-se somente às partículas definidas como Tem massa. A partícula sem massa segue a linha de fluxo ao longo das paredes.

    Observe que os limites de parede de partícula podem ser paredes externas e interfaces fluido-sólido. Como nos limites de partícula aberto e de simetria, as partículas podem ser liberadas a partir de um limite de parede.

As condições iniciais fornecem os valores iniciais para todas as variáveis de fase discreta dependentes que descrevem as condições instantâneas de uma partícula individual. Para o rastreamento de partículas do sistema de Lagrange, o procedimento para determinar as condições iniciais envolve as liberações de partícula (frequência e distribuições) a partir dos limites (aberto, simetria, parede e interface) e a atribuição de propriedades a cada partícula.

Ao ativar Release Particle, os parâmetros ou variáveis a seguir são as condições iniciais para os movimentos de partícula:

• Frequência de liberação

• Liberação aleatória

• Raio de partículas

• Velocidade inicial

• Posição de liberação

Para rastrear o movimento da partícula, as equações de trajetória de cada partícula são resolvidas (integradas) de forma analítica ou numérica em um sistema de Lagrange. A partir da equação 2.367 e equação 2.386, as equações de movimento são reescritas da seguinte forma:

Equação 2.391

Equação 2.392

em que

vetor de posição da partícula

inclui acelerações causadas por todas as outras forças, exceto a força de arrasto, como gravidade, efeitos de rotação e assim por diante

A equação 2.391 e equação 2.392 são um conjunto de equações diferenciais ordinárias acopladas. Com as condições iniciais e de limite fornecidas, o deslocamento da partícula, a equação 2.391, é calculado usando a integração de Euler de avanço da velocidade da partícula com relação ao passo de tempo, :

Equação 2.393

em que

novos valores

valores atuais

velocidade da partícula no passo de tempo atual

No primeiro passo de tempo,

posição de liberação

velocidade inicial

em que

Equação 2.394

Nesse método de integração de avanço, pressupõe-se que a velocidade da partícula calculada no início do passo de tempo prevaleça sobre o passo inteiro. No final do passo de tempo, a nova velocidade da partícula é calculada resolvendo a equação 2.392 do momento da partícula. Pressupondo que , e sejam constantes no período de tempo e as propriedades de fluido usadas sejam obtidas do início do passo de tempo, no tempo , teremos a solução analítica da equação 2.392:

Equação 2.395

Para avaliar e , são necessárias variáveis de fluido, como densidade, viscosidade e velocidade, na posição da partícula. Eles são consideradas como valores de célula da fase do fluxo de fluido em que a partícula está atualmente localizada. Embora esse esquema analítico seja eficiente, ele pode tornar-se impreciso para passos de tempo grandes e em situações nas quais as partículas não estejam em equilíbrio hidrodinâmico com o fluxo de fluido contínuo. Neste caso, os esquemas numéricos integram a equação 2.392.

Na abordagem de Euler-Lagrange, pressupõe-se que o fluxo de fluido contínuo afete a reação da partícula por meio da transferência de forças, calor e massa. Por exemplo, o termo de força na equação 2.370 de balanceamento de forças da partícula refere-se à força de arrasto aerodinâmica do fluxo na partícula. Embora a fase de partícula seja considerada discreta e não desloque o fluido no volume, as partículas podem exercer uma influência de oposição no fluxo de fluido por meio das trocas de momento e, possivelmente, de massa e calor. O efeito das partículas no fluxo é chamado de acoplamento partícula-fluido. Há duas categorias:

• Acoplamento unidirecional

  O acoplamento unidirecional permite que o fluido influencie as trajetórias de partículas, mas as partículas não têm nenhum efeito sobre o fluido. Para partículas sem massa, a interação partícula-fluido é um acoplamento unidirecional: as partículas movem-se com o fluxo de fluido. Para partículas que têm massa, o acoplamento unidirecional pode ser uma abordagem aceitável em fluxos com baixa carga de fase dispersa, em que as partículas têm influência insignificante sobre o fluxo de fluido.

  Para a fase fluida contínua, o campo de fluxo é calculado como um fluxo de fluido de única fase sem a existência da fase de partícula dispersa. Em seguida, o movimento de partículas é rastreado com base no fluxo calculado e nas condições iniciais. Para um fluxo de estado estável, o rastreamento de partícula ocorre depois que a solução de fluxo convergido da fase contínua é obtida ao resolver as equações de continuidade e de Navier-Stokes. Para uma simulação de fluxo transiente, os movimentos de partícula são rastreados no final de cada passo de tempo da simulação de fluxo.

• Acoplamento bidirecional

  Para partículas com massa, o acoplamento bidirecional permite que o fluido influencie as trajetórias de partículas. Ele também leva em conta o efeito de partículas na fase fluida contínua. Sem a inclusão das transferências de massa e de calor, a interação bidirecional entre o fluido e as partículas somente diz respeito à troca de momento. Para o momento transferido da fase contínua para a fase discreta, ele é calculado por meio do rastreamento do momento ganho ou perdido por cada partícula individual à medida que ela passa por um volume de controle. No acoplamento bidirecional, as trocas de momento entre partícula e fluido devem ser incluídas nas equações de momento de fluido para levar em conta o efeito das trajetórias de fase discreta sobre o contínuo. Na equação 2.386, somente a força de arrasto é considerada para a troca de momento entre partícula e fluido e é adicionada nas equações de momento. Observe que, para partículas sem massa, nenhum termo de intercâmbio é calculado entre elas e o fluxo de fluido, para que as trajetórias de fase discreta não tenham impacto sobre o contínuo.

  Para incluir os efeitos de arrasto entre partícula e fluido nas equações de momento de fase contínua, a força de arrasto para cada partícula que se move através do fluxo é aplicada no volume de controle em que a partícula está localizada durante o passo de tempo. Para a partícula , sua origem de momento causada por arrasto é calculada na equação diferencial a seguir:

  Equação 2.396

  E a origem da partícula para a fase contínua é o termo de origem multiplicado pela taxa de fluxo de número dessa partícula (taxa de fluxo de massa dividida pela massa da partícula):

  Equação 2.397

  em que

  passo de tempo

  taxa de fluxo de massa da partícula

  Pressupondo que seja o número de partículas que passam por um volume de controle no passo de tempo , teremos o termo de origem total de partícula para fluido da seguinte forma:

  Equação 2.398

  Com a adição da força de arrasto entre partícula e fluido, as equações de controle resolvidas para a fase contínua são expressas da seguinte forma:

  Equação 2.399

  Equação 2.400

  Com o acoplamento unidirecional, , a fase fluida contínua é controlada pelas equações exatas de continuidade e momento de única fase. Para o acoplamento bidirecional, temos o termo de origem adicional de força de arrasto entre partícula e fluido. A equação 2.399 e equação 2.400 são resolvidas de forma idêntica à equação de fluxo de única fase.