式 2.434、式 2.435、式 2.436を式 2.432に代入し、明示されたフォース項を 1 つの項 にグループ化して簡略化することで、1 自由度の運動の直線移動式を次の形式でに書き換えます。

式 2.455

ここで、明示的に計算されたフォース項 は次のようになります。

式 2.456

与えられた初期条件と境界条件では、陽的な時間進行スキームを使用して式 2.455を積分することで剛体の変位を取得できます。時間ステップ に対して次のような一般式が得られます。

式 2.457

式 2.458

ここで、ウェイト係数の合計は 1 です。

式 2.459

ウェイト係数の選択肢があるので、各種のスキームが導出されます。たとえば、オイラーおよびルンゲ-クッタ陽的スキームは次に従います。

• オイラー陽的ソルバー (1 次)

  および の場合、次のようなオイラー陽的スキームが得られます。

  式 2.460

  式 2.461

• ルンゲ-クッタ陽的ソルバー

  ルンゲ-クッタソルバーは、次に従う 2 次および 4 次の陽的スキームです。

  • 2 次スキーム

    式 2.462

    式 2.463

  • 4 次スキーム

    式 2.464

    式 2.465

    ここで、

    式 2.466

    式 2.467

    式 2.468

    式 2.469

• スティフソルバー (陽的)

  標準のオイラーおよびルンゲ-クッタスキームに加えて、 では直線移動の 1 自由度 ODE 式を積分するためのスティフソルバーが開発されています。これは剛体の動的運動を計算するデフォルトの方法です。

式 2.446および式 2.447を式 2.444に代入し、明示されたトルク項を 1 つの項 にグループ化して簡略化することで、1 自由度の運動の回転式である式 2.444を次の形式に書き換えます。

式 2.470

ここで、明示的に計算されたトルク項 は次のようになります。

式 2.471

与えられた初期条件と境界条件では、陽的な時間進行スキームを使用して式 2.470を積分することで回転の角度を取得できます。時間ステップ に対して次のような一般式が得られます。

式 2.472

式 2.473

ここで、ウェイト係数の合計は 1 です。

式 2.474

ウェイト係数の選択肢があるので、各種の数値スキームが容易に導出されます。同じように、オイラーおよびルンゲ-クッタ陽的スキームは次のように与えられます。

• オイラー陽的ソルバー (1 次)

  および の場合、次のようなオイラー陽的スキームが得られます。

  式 2.475

  式 2.476

• ルンゲ-クッタ陽的ソルバー

  ルンゲ-クッタソルバーは、次のように与えられる 2 次および 4 次の陽的スキームです。

  • 2 次スキーム

    式 2.477

    式 2.478

  • 4 次スキーム

    式 2.479

    式 2.480

    ここで、

    式 2.481

    式 2.482

    式 2.483

    式 2.484

• スティフソルバー (陽的)

  標準のオイラーおよびルンゲ-クッタスキームに加えて、 では 1 自由度の回転 ODE 式である式 2.444を積分するためのスティフソルバーが開発されています。これは剛体の動的運動を計算するデフォルトの方法です。