Solutore ODE

L'equazione 2.432 e l'equazione 2.444, che sono le equazioni differenziali ordinarie (ODE) che regolano rispettivamente la traslazione e la rotazione a 1 grado di libertà dei limiti e dei volumi, vengono risolte numericamente in . In particolare, per calcolare il movimento e lo spostamento di un limite e di un volume per l'esecuzione di remesh, per integrare le equazioni differenziali ordinarie vengono adottati i seguenti schemi di marcia temporale: solutore esplicito di Runge-Kutta, di Eulero e per differenziali stiff.

Integrazione dell'equazione della traslazione a un grado di libertà

Sostituendo l'equazione 2.434, l'equazione 2.435 e l'equazione 2.436 nell'equazione 2.432 e raggruppando i termini di forza espliciti in un singolo termine per brevità, l'equazione della traslazione a 1 grado di libertà del movimento viene riscritta nella forma seguente:

Equazione 2.455

dove il termine di forza calcolato in modo esplicito è:

Equazione 2.456

Con le condizioni iniziali e al limite specificate, lo spostamento del corpo solido viene ottenuto integrando l'equazione 2.455 con schemi di marcia temporale espliciti. Nel passo temporale , le formule generali sono le seguenti:

Equazione 2.457

Equazione 2.458

dove la somma dei fattori di peso è l'unità:

Equazione 2.459

Con la scelta dei fattori di peso vengono derivati diversi schemi. Di seguito sono riportati ad esempio gli schemi espliciti di Eulero e di Runge-Kutta.

  • Solutore esplicito di Eulero (primo ordine)

    Con e , lo schema esplicito di Eulero è il seguente:

    Equazione 2.460

    Equazione 2.461

  • Solutore esplicito di Runge-Kutta

    I solutori di Runge-Kutta sono schemi espliciti del 2° e del 4° ordine, riportati di seguito.

    • Schema del secondo ordine

      Equazione 2.462

      Equazione 2.463

    • Schema del quarto ordine

      Equazione 2.464

      Equazione 2.465

      dove

      Equazione 2.466

      Equazione 2.467

      Equazione 2.468

      Equazione 2.469

  • Solutore per differenziali stiff (esplicito)

    In aggiunta agli schemi standard di Eulero e di Runge-Kutta, in è stato sviluppato un solutore per differenziali stiff per integrare l'equazione differenziale ordinaria della traslazione a 1 grado di libertà. È il metodo di default per i movimenti dinamici dei corpi solidi.

Integrazione dell'equazione della rotazione a un grado di libertà

Come per la traslazione, sostituendo l'equazione 2.446 e l'equazione 2.447 nell'equazione 2.444 e raggruppando i termini di coppia espliciti in un singolo termine per brevità, l'equazione della rotazione a 1 grado di libertà del movimento (equazione 2.444) viene riscritta nella forma seguente:

Equazione 2.470

dove il termine di coppia calcolato in modo esplicito è:

Equazione 2.471

Con le condizioni iniziali e al limite specificate, l'angolo di rotazione viene ottenuto integrando l'equazione 2.470 con schemi di marcia temporale espliciti. Nel passo temporale , le formule generali sono le seguenti:

Equazione 2.472

Equazione 2.473

dove la somma dei fattori di peso è l'unità:

Equazione 2.474

Con la scelta dei fattori di peso vengono facilmente derivati diversi schemi. Di seguito sono riportati gli schemi espliciti di Eulero e di Runge-Kutta.

  • Solutore esplicito di Eulero (primo ordine)

    Con e , lo schema esplicito di Eulero è il seguente:

    Equazione 2.475

    Equazione 2.476

  • Solutore esplicito di Runge-Kutta

    I solutori di Runge-Kutta sono schemi espliciti del 2° e del 4° ordine, riportati di seguito.

    • Schema del secondo ordine

      Equazione 2.477

      Equazione 2.478

    • Schema del quarto ordine

      Equazione 2.479

      Equazione 2.480

      dove

      Equazione 2.481

      Equazione 2.482

      Equazione 2.483

      Equazione 2.484

  • Solutore per differenziali stiff (esplicito)

    In aggiunta agli schemi standard di Eulero e di Runge-Kutta, in è stato sviluppato un solutore per differenziali stiff per integrare l'equazione differenziale ordinaria della rotazione a 1 grado di libertà (equazione 2.444). È il metodo di default per i movimenti dinamici dei corpi solidi.