Supponendo che un corpo solido si muova linearmente in una direzione arbitrariamente specificata che rimane invariata ed è definita da un vettore di unità , il movimento traslazionale del corpo viene ridotto a 1 grado di libertà. Di conseguenza, per la conservazione del momento lineare, l'equazione 2.426 diventa un'equazione scalare lungo la direzione di movimento poiché la forza e la velocità di movimento sono espresse in termini di :

Equazione 2.428

Equazione 2.429

Equazione 2.430

dove è la grandezza del vettore di posizione in un punto di interesse sul corpo solido lungo la direzione di movimento . In un sistema di coordinate cartesiano:

Equazione 2.431

Se la massa del corpo solido rimane una costante ed espandete il termine della forza in modo da includere esplicitamente tutte le forze applicate sul corpo, l'equazione scalare del momento lineare è la seguente:

Equazione 2.432

Le forze sul lato destro indicano quanto descritto di seguito.

• Forza idrodinamica - È costituita da forze di pressione e di taglio, causate dal movimento relativo tra il flusso del fluido e le superfici del corpo solido in contatto con il flusso. Le forze di pressione e di taglio vengono ottenute dalle soluzioni del flusso (quantità di output):

  Equazione 2.433

• Forza di smorzamento - Forza ritardante causata dall'effetto di smorzamento dell'attrito. È determinata dal movimento dell'oggetto solido e dal coefficiente di smorzamento definito dall'utente .

  Equazione 2.434

• Forza della molla - Dipende dallo spostamento della molla , dalla costante di molla e dalla forza di precarico della molla .

  Equazione 2.435

  dove lo spostamento della molla è definito come segue:

  Equazione 2.436

  dove è la grandezza del vettore di posizione nella posizione precedente .

• Forza di attrito - Per tenere conto dell'effetto dell'attrito in un sistema dinamico viene adottato il modello dell'attrito di contatto. La forza di attrito viene modellata come segue:

  Equazione 2.437

  dove è il componente normale della forza di contatto esercitata sulla superficie solida di interesse. Per il coefficiente di attrito , vengono inoltre introdotti il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito radente , rispettivamente per i corpi stazionari e mobili:

  Equazione 2.438

• Forza aggiuntiva - Viene aggiunta per le ulteriori forze specificate dall'utente.

Quando un asse di rotazione arbitrario è definito da un punto (centro dell'asse) e dal vettore di unità direzionale, la rotazione del corpo solido intorno all'asse viene ugualmente ridotta a rotazione a 1 grado di libertà. Analogamente, per la conservazione del momento angolare, anche l'equazione 2.427 diventa un'equazione scalare lungo la direzione tangenziale , definita come segue:

Equazione 2.439

dove è il vettore che punta dal centro dell'asse a un punto arbitrario sul corpo solido:

Equazione 2.440

La velocità angolare e la coppia nel punto vengono riformulate come segue:

Equazione 2.441

Equazione 2.442

Equazione 2.443

dove è l'angolo di rotazione del punto rispetto alla posizione iniziale o di riferimento.

Se il momento di inerzia rimane una costante e il termine della coppia viene espanso in modo da includere esplicitamente tutte le coppie applicate sul corpo in rotazione, l'equazione scalare del momento angolare è la seguente:

Equazione 2.444

I termini della coppia sul lato destro sono definiti come descritto di seguito.

• Coppia idrodinamica - Combinazione della coppia causata dalle forze di pressione e di taglio:

  Equazione 2.445

• Coppia smorzamento - Dipende dalla velocità di rotazione e dal coefficiente di smorzamento definito dall'utente :

  Equazione 2.446

• Coppia elastica - È indotta dalla torsione che dipende dall'angolo di spostamento , dalla coppia di precarico definita dall'utente e dalla costante di torsione .

  Equazione 2.447

  dove è l'angolo di riferimento. Si tratta in genere della posizione del limite o del volume durante l'impostazione del modello, ma può corrispondere a una posizione diversa. Con spostamento angolare zero, ad esempio, l'angolo di riferimento non coincide con la posizione angolare iniziale.

• Coppia di attrito - Coppia causata dalla forza di attrito che viene generata quando due oggetti a contatto si muovono. Negli esperimenti, è determinata dalla differenza tra la coppia applicata e la coppia osservata o netta. Dipende dal coefficiente di attrito e dalla coppia di contatto causata dalla forza normale applicata sulla superficie di contatto:

  Equazione 2.448

  dove è un parametro definito dall'utente nell'equazione 2.438.

• Coppie aggiuntive - Vengono aggiunte per le ulteriori coppie specificate dall'utente.

In molte situazioni, un corpo solido trasla, ruota o effettua entrambe le azioni solo in uno spazio limitato (distanza o angolo limitato), ovvero dispone di una posizione massima, minima o entrambe le posizioni. Ad esempio, come mostrato nell'illustrazione riportata di seguito, quando un pendolo semplice viene rilasciato dalla posizione originale con l'angolo , la forza di richiamo che agisce sulla massa ne provoca l'oscillazione sulla posizione di equilibrio. L'angolo massimo su entrambi i lati della posizione di equilibrio dipende dalla posizione di rilascio . In assenza di attrito (rotazione senza attrito e nel vuoto), l'angolo massimo rimane invariato e il pendolo oscilla avanti e indietro in modo permanente con le stesse posizioni estreme. Quando però un pendolo si trova nell'atmosfera, ad esempio, la resistenza dell'aria (smorzamento) causa una riduzione dell'angolo di oscillazione massimo nel tempo e infine l'arresto nella posizione di equilibrio.

illustrazione

1. Punto di rotazione senza attrito

2. Bacchetta senza massa

3. Peso

4. Posizione di equilibrio

5. Traiettoria del peso

6. Ampiezza

In un ciclo di oscillazione (periodo), inoltre, quando il pendolo raggiunge la posizione più elevata , cambia direzione con perdita totale dell'energia cinetica. Nel pendolo semplice, l'energia cinetica viene completamente trasferita in energia potenziale. Considerando però la resistenza del mezzo, una parte dell'energia cinetica viene persa per superare lo smorzamento viscoso. La forza netta o l'energia potenziale, tuttavia, induce il pendolo a iniziare a muoversi nella direzione opposta verso la posizione di equilibrio, in cui l'energia cinetica (velocità) è massima mentre quella potenziale è minima. In questo caso, indica una condizione di non rimbalzo per l'equazione del momento angolare a 1 grado di libertà (equazione 2.444).

Oltre alla condizione di non rimbalzo, un corpo mobile nella posizione limite potrebbe non perdere alcuna energia cinetica e rimbalzare (rimbalzo perfetto) oppure perdere solo una parte dell'energia cinetica (rimbalzo parziale). Di conseguenza, quando vengono risolte le equazioni di dinamica a 1 grado di libertà della traslazione e della rotazione (equazione 2.432 ed equazione 2.444) per determinare i movimenti di un corpo solido o di un limite di parete per il dominio di flusso, vengono applicate le tre condizioni di rimbalzo seguenti:

• No Bounce - Modello di default in . Con questo modello, un limite o un corpo solido, quando raggiunge il proprio limite di movimento, cambia direzione con perdita totale dell'energia cinetica. Rappresentando il rimbalzo e l'incidenza con e e la velocità di traslazione e di rotazione (per la sola grandezza) con e , questo modello di rimbalzo viene espresso come riportato di seguito.

  • Traslazione

    Equazione 2.449

  • Rotazione

    Equazione 2.450

• Rimbalzo parziale - Modello con cui un limite o un corpo solido, quando raggiunge il proprio limite di movimento, cambia direzione con perdita parziale dell'energia cinetica determinata da un fattore specificato dall'utente, .

  • Traslazione

    Equazione 2.451

  • Rotazione

    Equazione 2.452

• Rimbalzo perfetto - Modello con cui un limite o un corpo solido, quando raggiunge il proprio limite di movimento, cambia direzione con perdita zero di energia cinetica, .

  • Traslazione

    Equazione 2.453

  • Rotazione

    Equazione 2.454