La loi de Hooke présente l'un des concepts importants, nécessaire à la compréhension de l'analyse des contraintes (Analyse linéaire statique) fondé sur la méthode des éléments finis. En 1678, Robert Hooke détermine ce qui constitue aujourd'hui la base de l'analyse linéaire statique d'un élément fini. La loi de Hooke explique que "les corps élastiques s'étirent (se déforment) proportionnellement aux forces (contraintes) exercées sur eux". La formule peut être exprimée de la façon suivante :

F= effort

k= coefficient de proportionnalité

x= distance de déformation

De nombreux autres types de phénomènes physiques peuvent être traits à partir de l'équation de la loi de Hooke.

Imaginez un verre posé sur une table. Il est alors mathématiquement partagé en 5000 petits éléments "pyramides". Chacun possède 5 coins ou nœuds. Les nœuds situés au bas du verre sont fixes ou "contraints", c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas bouger (nous leur imposons un déplacement nul). Si nous appuyons sur un nœud situé en haut du verre, nous appliquons une charge.

Pour les matériaux possédant une certaine élasticité, le nœud se déplace. Ce mouvement s'appliquerait selon l'équation F=kx à cet élément spécifique mais les autres éléments s'y opposent ou entravent son mouvement. Pourtant, la force transmise au premier élément a un effet sur les autres nœuds, ceux-ci en affecteront d'autres sur tout le verre.

Dans la méthode des éléments finis, on effectue un calcul essentiel nommé "formulation de rigidité des éléments". Au cours de cette étape, un coefficient de proportionnalité est créé ("k") pour la relation entre tous les noeuds de chaque élément. Par conséquent, il est possible d'imaginer chaque noeud comme étant connecté aux autres noeuds sur un seul élément à l'aide d'un ressort. Les ressorts répondront aux contraintes selon l'équation de Hooke, F=kx.

Et voilà notre verre transformé en un vaste réseau de ressorts. Lorsque l'on effectue l'analyse, on calcule une valeur pour chaque "x" et chaque "F", pour chacun des nœuds, grâce à la formule F=kx. Remarque : F" et "x" sont des vecteurs ayant chacun une valeur et une direction.

Enfin, on détermine les contraintes en fonction de "F" pour chacun des nœuds et la géométrie de tous les éléments.

Cette section donne une brève description de :

En fonction de l'analyse traditionnelle des éléments finis, la précision de la solution s'améliore grâce à l'augmentation du nombre d'éléments. La précision du problème peut être mesurée quantitativement avec des entités variées, telles que les énergies de déformation, les déplacements, et les contraintes, ainsi qu'avec diverses méthodes d'estimation d'erreur, telles que de simples normes mathématiques ou des méthodes fondées sur la racine carrée. Son but est de réaliser une prévision précise du comportement de votre modèle grâce à ces méthodes analytiques relatives à l'erreur.

Vous pouvez modifier de façon manuelle ou automatique une série d'éléments d'analyse en réduisant sa taille et en augmentant le nombre d'éléments. Il s'agit là de la méthode d'adaptivité-h standard. Chaque élément est formulé mathématiquement avec une séquence prédéterminée de fonctions de forme. Cette méthode d'adaptativité-h ne modifie pas l'ordre polynomial. Les éléments associés à ce type de fonction sont appelés éléments-h.

Une autre méthode permettant de modifier les analyses suivantes sur le même problème consiste à augmenter l'ordre polynomial de chaque élément tout en conservant la taille des éléments finis et le maillage. L'accroissement de l'ordre d'interpolation s'effectue de manière interne et la résolution s'arrête automatiquement lorsqu'une erreur de tolérance donnée est satisfaite. On appelle cela la méthode d'adaptivité-p. Les éléments associés à ce type de fonction sont appelés éléments-p.