Eines der wichtigsten Konzepte zum Verständnis der Spannungsanalyse (linear-statische Analyse) unter Anwendung des Finite-Element-Verfahrens ist das Hookesche Gesetz. Bereits 1678 hat Robert Hooke die Grundlagen für die moderne Analyse von linear statischen Belastungen geschaffen. Das Hookesche Gesetz besagt, dass "elastische Körper im Verhältnis zu den auf sie wirkenden Kräften (Belastungen) gedehnt (belastet) werden". Dies lässt sich mit der folgenden Formel ausdrücken:

F = Kraft

k = Proportionalkonstante

x = Dehnung

Für viele andere physikalische Phänomene lassen sich aus dem Hookeschen Gesetz abgeleitete Formeln anwenden.

Stellen Sie sich ein Glas Wasser auf einem Tisch vor. Es wird mathematisch in 5000 kleine "Pyramidenelemente" unterteilt. Jedes Element besitzt 5 Ecken oder Knoten. Die auf der Unterseite des Glases befindlichen Knoten sind fixiert (beschränkt), sodass sie sich nicht bewegen können (Nullverschiebungsvorgabe für diese Knoten). Wenn man nun auf einen auf der Oberseite der Kaffeetasse befindlichen Knoten ein Druck ausübt, wird dadurch eine Last aufgelegt.

Unter der Lasteinwirkung bewegt sich dieser Knoten geringfügig, weil alle Materialien über eine gewisse Elastizität verfügen. Für das Element, auf das der Druck ausgeübt wird, gilt das Hookesche Gesetz F=kx. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die anderen Elemente die Bewegung des Elements bremsen. Die Kraft wirkt dennoch über das erste Element auch auf die benachbarten Elemente ein, welche die Kraft wiederum abgeschwächt auf deren benachbarte Elemente übertragen usw.

Bei der Finite-Element-Methode wird eine wichtige Berechnung durchgeführt, die so genannte "Elementsteifigkeitsformel". Bei diesem Schritt wird eine proportionale Konstante "k" für die Beziehung zwischen allen Knoten jedes Elements erzeugt. Daher können wir uns jeden Knoten mit den anderen Knoten auf einem einzigen Element durch eine Feder verbunden vorstellen. Und die Feder reagiert auf Belastungen gemäß der Hookeschen Gleichung F=kx.

Diese Vorstellungsweise interpretiert das Glas als eine System miteinander verbundenen Federn. Wenn wir die Analyse durchführen, wird anhand der Formel F=kx für jedes "x" und "F" an jedem Knoten ein Wert bestimmt. Hinweis: "F" und "x" sind Vektoren, da Sie sowohl einen Wert als auch eine Richtung besitzen.

Wenn "F" für jeden Knoten sowie die Geometrie der einzelnen Elemente bekannt ist, kann abschließend die Ermittlung der Spannung anhand dieser Größen erfolgen.

Dieser Abschnitt bietet eine kurze Beschreibung der

Bei der traditionellen Finite-Elemente-Analyse steigt mit der Anzahl der Elemente die Genauigkeit des Ergebnisses. Die Messung der Ergebnisgenauigkeit kann sowohl mengenmäßig mit verschiedenen Parametern wie Dehnungsenergien, Verschiebungen und Spannungen erfolgen, als auch mit verschiedenen Methoden der Fehlerabschätzung. Mit diesen Methoden der Fehleranalyse soll eine genaue Voraussage über das Verhalten des tatsächlichen Modells getroffen werden.

Die Änderung einer Analysereihe von finiten Elementen kann entweder manuell oder automatisch durch Reduzierung der Größe und Erhöhung der Anzahl der Elemente erfolgen. Dies ist die standardmäßig verwendete Methode der H-Adaption. Jedes Element wird mathematisch in einer bestimmten vorher festgelegten Formenreihenfolge formuliert. Der Polynomgrad bleibt bei der H-Adaptionsmethode unverändert. Die dazu gehörenden Elemente werden als H-Elemente bezeichnet.

Eine andere Möglichkeit zur Änderung von Finite-Elemente-Analysen bei gleicher Problemstellung besteht in der Erhöhung des Polynomgrades der Elemente unter Beibehaltung von Originalgröße und Netz der finiten Elemente. Die Erhöhung des Interpolationsgrades erfolgt intern und die Lösungssuche wird automatisch abgebrochen, sobald die angegebene Fehlertoleranz erreicht ist. Dies ist die P-Adaptionsmethode. Die dazu gehörenden Elemente werden als P-Elemente bezeichnet.