Esempio: iterazione con valore seed ed equazioni alle differenze

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Stimare le soluzioni utilizzando iterazioni con valore seed.

Radici quadrate

Utilizzare il metodo babilonese per approssimare la radice quadrata di un numero.

1. Definire un numero reale X e un valore ipotizzato della sua radice quadrata.

La prima ipotesi è definita come il primo elemento di un vettore.

2. Definire N come numero di iterazioni.

3. Calcolare nuove stime della radice quadrata.

Fare clic per copiare questa espressione

<region id="ID0EZFGHB" top="336" left="48" width="168.866666666667" height="52.473" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id label="None">guess</id>
        <apply>
          <plus />
          <id label="None">i</id>
          <real>1</real>
        </apply>
      </apply>
      <apply>
        <mult />
        <parens>
          <apply>
            <plus />
            <apply>
              <indexer />
              <id>guess</id>
              <id>i</id>
            </apply>
            <apply>
              <div />
              <id>X</id>
              <apply>
                <indexer />
                <id>guess</id>
                <id>i</id>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </parens>
        <apply>
          <div />
          <real>1</real>
          <real>2</real>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

La funzione incorporata della radice quadrata restituisce il risultato seguente:

4. Tracciare il grafico del vettore di stime.

<region id="ID0EUKGHB" top="888" left="0" width="622" height="312" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="rhombus" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="bottom" positionticmark="-1" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">i_range</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">guess</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

In questo caso, la convergenza si verifica molto rapidamente. Per altri casi, è possibile aumentare il numero di iterazioni N in base alle esigenze del problema.

Sistemi di equazioni alle differenze

Considerare un modello di infezione con quattro variabili:

• inf: il numero di individui infettati

• sus: il numero di individui a rischio

• dec: il numero di decessi

• rec: il numero di guarigioni

1. Definire valori seed per l'iterazione simultanea.

2. Definire il sistema di equazioni alle differenze.

3. Tracciare il grafico delle quattro variabili nel tempo per visualizzare l'evoluzione del modello di infezione.

<region id="ID0ETVGHB" top="1920" left="0" width="668" height="312" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF0000FF" symbol="none" line-weight="1" line-style="Dash">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF008000" symbol="none" line-weight="1" line-style="DashDotDot">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FFFFA500" symbol="none" line-weight="1" line-style="DashDot">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">τ_range</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">inf</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">sus</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">dec</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">rec</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Matrice di equazioni alle differenze

Considerare un processo di Markov, ovvero un vettore serie temporale il cui stato presente viene trovato moltiplicando lo stato precedente per una matrice di transizione di stato.

1. Definire lo stato del vettore iniziale e la matrice di transizione di stato A.

2. Definire il processo di iterazione.

3. Calcolare lo stato finale del vettore.

La matrice V contiene la cronologia del processo:

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