Esempio: analisi dei componenti principali 1

Funzioni > Analisi dati > Analisi dei componenti principali > Esempio: analisi dei componenti principali 1

Utilizzare le funzioni Nipals, loadings, scores, PCAeigenvals e PCAvariance per eseguire l'analisi dei componenti principali.

Funzione Nipals

1. Definire un insieme di dati in cui ogni colonna rappresenta una variabile.

Fare clic per copiare questa espressione

2. Tracciare un grafico dell'insieme di dati.

<region id="ID0ENG1U" top="364.80000000000007" left="38.400000000000006" height="214" width="575" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="128">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="129">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="436.6" height="137.2" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="2.6" end="4.6">
          <axisLine position="ticknumberlock" positionticmark="0" legendWidth="100.183333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="136">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">Data</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="137">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="131">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2.6</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="133">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">3.0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="135">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">4.5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="2" end="5">
          <axisLine position="ticknumberlock" positionticmark="0" legendWidth="100.183333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>7</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="144">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">Data</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="145">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="146">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">Data</id>
                  <real>2</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="147">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="139">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="141">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2.5</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="143">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">5.0</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

In questo grafico il piano x-y e il piano x-z sono sovrapposti per esporre la tendenza dei dati. I dati sono in effetti una nuvola di punti ellittica quasi distesa su un piano. Le tre variabili sono linearmente correlate e la deviazione da un piano perfetto è dovuta al rumore.

3. Utilizzare le funzioni rows e cols per definire gli indici di riga e di colonna.

4. Utilizzare la funzione mean per trovare la media dei dati e quindi sottrarla da ogni variabile per centrare i dati.

<region id="ID0ELL1U" top="883.20000000000016" left="38.400000000000006" height="36.800000000000004" width="190.07" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="166">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id labels="*" xml:space="preserve">C</id>
        <sequence>
          <id labels="*" xml:space="preserve">i</id>
          <id labels="*" xml:space="preserve">j</id>
        </sequence>
      </apply>
      <apply>
        <minus />
        <apply>
          <indexer />
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Data</id>
          <sequence>
            <id xml:space="preserve">i</id>
            <id xml:space="preserve">j</id>
          </sequence>
        </apply>
        <apply>
          <indexer />
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">MeanData</id>
          <id xml:space="preserve">j</id>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

5. Tracciare il grafico dei dati centrati.

<region id="ID0E2M1U" top="960.00000000000011" left="38.400000000000006" height="312" width="574" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="168">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="169">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="454.8" height="235.2" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="-1" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="3" legendWidth="77.7566666666667" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="174">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">C</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="175">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="171">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-1.</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="173">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1.0</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-1.5" end="1.5">
          <axisLine position="origin" positionticmark="5" legendWidth="77.7566666666667" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>7</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="182">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">C</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="183">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="184">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">C</id>
                  <real>2</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="185">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="177">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-1.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="179">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-1.0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="181">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1.5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

• I dati sono quindi centrati rispetto all'origine. Si tratta di uno dei passi che la funzione Nipals svolge automaticamente.

• In molte applicazioni di analisi dei componenti principali è inoltre preferibile scalare i dati in modo che le variabili abbiano pesi equivalenti, ad esempio in caso di variabili diverse con unità di misura diverse. Benché sia frequente scalare ogni variabile (ogni colonna di dati) in base alla varianza dell'unità, non è un'operazione appropriata per questi dati e pertanto in questo caso non verrà utilizzata alcuna scala.

6. Utilizzare la funzione Nipals per creare un nuovo spazio variabili. Utilizzare tre componenti principali, ovvero il massimo possibile poiché inizialmente sono state utilizzate solo tre variabili.

<region id="ID0E2S1U" top="1612.8000000000002" left="38.400000000000006" height="25.6" width="499.89333333333337" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="203">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve">NIPALS_Result</id>
      <apply>
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Nipals</id>
        <sequence>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Data</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">NumPC</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">MaxIteration</id>
          <str xml:space="preserve">noscale</str>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Acc</id>
        </sequence>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

L'output della funzione Nipals è una matrice annidata di 6 singole matrici. Utilizzarla per trovare i valori loadings, scores, eigenvals e eigenvecs dei dati. Se necessario, utilizzare la funzione Nipals2 e le ultime due matrici per estrarre componenti aggiuntivi.

Funzioni loadings e scores

1. Chiamare la funzione loadings per recuperare i dati trovati nella seconda matrice di NIPALS_Result.

Ogni colonna di LOADINGS è un vettore di carico.

2. Chiamare la funzione scores per recuperare i dati trovati nella prima matrice di NIPALS_Result.

I punteggi rappresentano le proporzioni con cui i vettori di carico vengono aggiunti per ricreare gli spettri originali. Considerarli equivalenti alle intensità. Dati = LOADINGS * SCOREST.

3. Tracciare il grafico dei dati memorizzati nella matrice SCORES.

<region id="ID0E231U" top="2611.2000000000003" left="38.400000000000006" height="312" width="578" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="217">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="218">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="x" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="420.4" height="235.2" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="-2" end="2">
          <axisLine position="origin" positionticmark="5" legendWidth="130.073333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="219">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">SCORES</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="220">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="0.6">
          <axisLine position="origin" positionticmark="5" legendWidth="130.073333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="227">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">SCORES</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="228">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="229">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">SCORES</id>
                  <real>2</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="230">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="222">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="224">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.4</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="226">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Poiché i dati sono stati ruotati, la quantità massima di varianza può essere spiegata dalla prima variabile. Ciò viene rappresentato sul grafico dal lungo asse della nuvola ellittica, che ora è parallelo all'asse x. I valori per la terza variabile, parallela all'asse z, sono molto piccoli. Nella maggior parte dei casi, questa variabile può essere eliminata. I dati sono stati compressi.

Autovalori e varianza dell'analisi dei componenti principali.

1. Utilizzare la funzione PCAvariance per restituire le varianze accumulate dei tre componenti principali.

I primi due componenti costituiscono il 99,9% della varianza nel sistema.

2. Utilizzare la funzione PCAeigenvals per estrarre gli autovalori dei componenti principali.

Argomenti correlati

Funzioni nipals

Estrazione di dati dalle funzioni nipals

È stato utile?