Esempio: funzioni di Bessel
Utilizzare le funzioni di Bessel sferiche e le funzioni di Hankel sferiche per trovare le soluzioni dell'equazione di Schrödinger in un pozzo quadrato 3D (un atomo).
La soluzione rappresenta le energie consentite per cui le funzioni wave interne ed esterne hanno valori e derivate prime uguali. Tali energie esistono per ogni valore del momento angolare (L).
1. Definire la massa, la costante di Plank e il raggio del nucleo:
2. Impostare il momento angolare su zero:
3. Definire l'energia potenziale del pozzo e tracciarne il grafico:
4. Utilizzare le funzioni di Bessel sferiche e le funzioni di Hankel sferiche per trovare le soluzioni:
5. Definire, per gli stati con vincolo E < 0, le funzioni wave per la prima soluzione relativa allo stato dell'energia all'interno e all'esterno del pozzo:
B è la normalizzazione relativa.
6. Definire le costanti di propagazione:
L'argomento per la soluzione all'esterno del pozzo è immaginario, perché fuori dal pozzo di potenziale l'onda decade.
7. Intersecare le funzioni wave all'estremità del pozzo (il raggio del nucleo) per determinare la normalizzazione relativa:
8. Intersecare le derivate. Determinare gli autovalori trovando i punti in cui le derivate sono uguali.
9. Specificare due valori ipotizzati per E:
10. Tracciare il grafico di g(E) rispetto a E e aggiungere indicatori verticali per mostrare i due punti radice:
