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Task 3-5: utilizzo dello jacobiano
Alcuni risolutori ODE di PTC Mathcad utilizzano lo jacobiano, che consente di convertire variabili per più integrali. Si supponga di voler integrare una funzione sulla regione illustrata di seguito. Nella figura sono riportate anche le equazioni dei singoli lati.
1. Definire una funzione da integrare.
2. Integrare la funzione sulla regione illustrata. È necessario dividere l'integrale in due, ovvero eseguire prima l'integrazione sul lato sinistro del piano x-y e quindi quella sul lato destro.
È possibile introdurre nuove variabili per trasformare il piano e semplificare l'integrale.
La regione di integrazione per le nuove variabili ha lati paralleli agli assi.
3. Definire x e y in funzione di u e v.
Quando si convertono variabili per più integrali, è necessario calcolare lo jacobiano per scalare l'integrazione.
4. Definire una funzione vettoriale F(u, v).
5. Valutare la matrice jacobiana in a e b.
6. Calcolare lo jacobiano, ovvero il determinante di J. Inserire l'operatore di determinante.
7. Riformulare la funzione f rispetto alle nuove coordinate.
8. Scalare l'integrale in base al valore assoluto dello jacobiano, quindi valutare il risultato.
Con le nuove variabili, per integrare la funzione è necessario un solo integrale.
Esercitazioni pratiche
Prima di concludere l'esercitazione, determinare il tempo necessario a un oggetto lanciato in aria per raggiungere il punto più alto. Impostare un blocco di soluzione con l'equazione differenziale x’’ = -9.8 e le condizioni iniziali x(0) = 2 e x’(0) = 3. Impostare un secondo blocco di soluzione per ottimizzare la funzione restituita dal primo.
È possibile verificare la risposta tracciando un grafico della funzione restituita dal primo blocco di soluzione nell'intervallo 0 < t < 1. È possibile aggiungere unità di misura, purché siano compatibili in tutti i calcoli.
Congratulazioni! Esercitazione sulla risoluzione di equazioni completata.