Task 3-1: modellazione di equazioni differenziali ordinarie in state-space (stato-spazio)
Leggere il problema definito nella sezione successiva e quindi, nei task da 3-1 a 3-3, trovare la soluzione utilizzando i metodi elencati di seguito.
• Risolutore di equazioni differenziali ordinarie state-space
• Risolutore di equazioni differenziali ordinarie
• Blocco di soluzione
Definizione del problema
Si consideri il classico sistema massa-molla-smorzatore.
L'equazione dinamica per tale sistema è riportata di seguito:
Tale sistema può essere rappresentato con un modello state-space espresso dalla seguente equazione:
Dove:
• A - Matrice di stati
• B - Matrice di input
• C - Matrice di output
• D - Matrice di trasmissione diretta
• x - Vettore di stati
• u - Input
• y - Output misurato o controllato
Il sistema lineare precedente può essere ottenuto linearizzando le equazioni non lineari di stato e di output che modellano la dinamica del sistema.
Per tale sistema del secondo ordine, utilizzare due variabili di stato.
Dato che m = 1, b = 0.5 e k = 3, le equazioni del sistema hanno la seguente forma:
Nel formato matriciale state-space, si ottiene il modello riportato di seguito.
Risolutore di equazioni differenziali ordinarie state-space
1. Definire le funzioni di matrice A, B, C e D.
2. Definire l'input specificando la funzione a gradino di Heaviside. Per inserire la funzione a gradino, digitare F e quindi premere CTRL+G.
3. Definire la condizione iniziale per le due variabili. Per immettere i come indice letterale, nel gruppo Stile della scheda Matematica fare clic su Indice, quindi digitare i.
4. Definire i limiti di tempo entro i quali si desidera trovare la soluzione del sistema.
5. Definire il numero di punti per cui si desidera trovare la soluzione, escludendo ti.
6. Chiamare la funzione statespace.
La prima colonna della matrice sol contiene il valore di tempo in corrispondenza di cui viene trovata la soluzione. Le colonne restanti contengono le variabili di stato x1 e x2 per tali punti nel tempo.
7. Estrarre t, x1 e x2 dalla matrice sol.
8. Calcolare i valori medio e massimo di x1.
9. Tracciare un grafico di x1 nel tempo e utilizzare indicatori per mostrare i relativi valori medio e massimo.
Il grafico mostra le caratteristiche della risposta transitoria, ad esempio il tempo di salita, la sovraelongazione e il tempo di assestamento.
