Integrali esponenziali

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Integrali esponenziali

• Ei(x) - Restituisce la funzione integrale esponenziale (valore principale di Cauchy) di x, che è definita come segue:

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<region id="ID0EFJYGB" top="115.20000000000002" left="57.600000000000009" height="80.552" width="118.27166666666668" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="7" xml:lang="it">
    <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal xml:lang="it" />
      <apply xml:lang="it">
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <integral xml:lang="it" />
        <lambda xml:lang="it">
          <boundVars xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">t</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="it">
            <div xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <pow xml:lang="it" />
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">e</id>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">t</id>
            </apply>
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">t</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <neg xml:lang="it" />
            <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it">∞</id>
          </apply>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="it">
          <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it">π</id>
        </upperBound>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

Ei(x) restituisce solo la parte reale della funzione integrale esponenziale complessa.

Per x > 0, l'integrale viene interpretato come valore principale di Cauchy.

• Ei(n, x) - Restituisce la funzione integrale esponenziale generalizzata di x.

Per un intero arbitrario Ei(n, x), n è definita dalla relazione di ricorrenza:

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<region id="ID0EIMYGB" top="307.20000000000005" left="57.600000000000009" height="27.752000000000002" width="229.48666666666668" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="13" xml:lang="it">
    <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal xml:lang="it" />
      <apply xml:lang="it">
        <mult xml:lang="it" />
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
        <apply xml:lang="it">
          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
          <sequence xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <plus xml:lang="it" />
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
              <real xml:lang="it">1</real>
            </apply>
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <minus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <pow xml:lang="it" />
          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">e</id>
          <apply xml:lang="it">
            <neg xml:lang="it" />
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
          </apply>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <mult xml:lang="it" />
          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
          <apply xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
            <sequence xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
            </sequence>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

Nel caso di n = 1, Ei(n, x) è definita come segue:

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<region id="ID0EKNYGB" top="249.60000000000002" left="57.600000000000009" height="50.000000000000007" width="242.08666666666667" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="11" xml:lang="it">
    <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal xml:lang="it" />
      <apply xml:lang="it">
        <neg xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
          <sequence xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">1</real>
            <apply xml:lang="it">
              <neg xml:lang="it" />
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
            </apply>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <plus xml:lang="it" />
          <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it">γ</id>
          <apply xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">ln</id>
            <apply xml:lang="it">
              <neg xml:lang="it" />
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <summation xml:lang="it" />
          <lambda xml:lang="it">
            <boundVars xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">k</id>
            </boundVars>
            <apply xml:lang="it">
              <div xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <pow xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">k</id>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <mult xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">k</id>
                <apply xml:lang="it">
                  <factorial xml:lang="it" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">k</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </lambda>
          <lowerBound xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">1</real>
          </lowerBound>
          <upperBound xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">∞</id>
          </upperBound>
        </apply>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

dove γ è la costante di Eulero.

Per un numero reale x, Ei(x) e Ei(n, x) sono correlati tra loro, come indicato di seguito:

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<region id="ID0E3OYGB" top="192.00000000000003" left="57.600000000000009" height="25.6" width="171.34333333333336" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="9" xml:lang="it">
    <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal xml:lang="it" />
      <apply xml:lang="it">
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Re</id>
        <apply xml:lang="it">
          <neg xml:lang="it" />
          <apply xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ei</id>
            <sequence xml:lang="it">
              <real xml:lang="it">1</real>
              <apply xml:lang="it">
                <neg xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
              </apply>
            </sequence>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

Argomenti

• x è un valore scalare reale, un vettore o una matrice quadrata. Quando si utilizza la funzione integrale esponenziale generalizzata, x può anche essere un valore scalare complesso.

• n è uno scalare reale o complesso.