Esempio: Effetti di TOL e metodo sull'integrazione definita
Parametro di tolleranza
Osservare come la variabile di sistema Tolleranza di convergenza (TOL) influisce sui risultati di integrati definiti. È possibile impostare TOL nel gruppo Impostazioni foglio di lavoro della scheda Calcolo o direttamente nel foglio di lavoro.
1. Calcolare l'integrale indicato di seguito.
Per il calcolo della risposta viene utilizzato il valore TOL di default:
2. Aumentare la tolleranza e ricalcolare l'integrale.
3. Ridurre la tolleranza e ricalcolare l'integrale.
Funzioni discontinue
Le funzioni discontinue possono diventare instabili con alcuni valori di integrali se hanno grandezze elevate e discontinuità nette. È necessario determinare l'intervallo di integrazione che contiene la maggior parte dell'area prima dell'integrazione. È inoltre possibile provare a utilizzare TOL.
1. Utilizzare Heaviside Step FunctionΦ per definire una funzione a dente di sega discontinua.
2. Definire la variabile di tolleranza di convergenza.
Poiché il valore minimo di TOL (10-15) è troppo piccolo per funzioni altamente discontinue, è possibile che l'algoritmo restituisca stime non valide.
3. Tracciare il grafico della funzione onda a dente di sega f(x) e del relativo integrale Int(x). Scalare la funzione di integrale in base a un fattore 4.
Nella funzione di integrale è presente un picco intorno a x = 15. Questa situazione può verificarsi quando si integrano funzioni discontinue. La riduzione di TOL a un valore minore di 10-10 peggiora ulteriormente la situazione.
4. Per ottenere una risposta valida, suddividere l'integrale in due parti corrispondenti alle discontinuità della funzione.
5. Tracciare il grafico di f(x) e del valore Int2(x) appena definito.
Il picco intorno a x = 15 è scomparso.
Limiti dell'integrazione
Uno dei limiti dell'integrazione numerica è dato dal fatto che impulsi molto piccoli in una funzione con valore prossimo allo zero spesso si integrano a zero. In genere, se l'integrando è zero in una percentuale maggiore o uguale al 95% dell'area di integrazione, è possibile che l'algoritmo non valuti l'integrando in corrispondenza di uno dei punti diversi da zero.
1. Definire un impulso stretto di larghezza pari a 0,05 all'interno di un segnale con valore zero di larghezza pari a 1,0 e tracciarne il grafico.
2. Calcolare l'integrale numerico della funzione.
Il risultato deve essere uguale all'area dell'impulso, 0.05x1.0 o a 0.05.
3. Per correggere questo problema, eseguire l'integrazione su un'area minore contenente la parte diversa da zero dell'integrando.
