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Exemple : Fenêtrage de signal
Utilisez les fonctions suivantes pour effectuer le fenêtrage de signal :
triangular, gaussian , blackman, kaiser, nuttall, hamming, cheby, taprect, costaper, hanning
Réponse impulsionnelle passe-bas idéale / tronquée
1. Définissez la réponse impulsionnelle h d'un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure normalisée de 0.15.
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2. Définissez la réponse impulsionnelle.
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Etant donné qu'un filtre opérationnel, de longueur finie, doit avoir une réponse impulsionnelle finie, cette réponse idéale est tronquée à un certain nombre gérable de termes.
3. Pour vérifier l'effet de la troncation directe sans fenêtrage de la réponse en fréquence, définissez un filtre de longueur N composé simplement des N termes centraux de la réponse idéale, décalé de manière à rendre le filtre causal.
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En guise d'exercice, définissez N à N2 et observez l'effet d'une augmentation du nombre de termes dans les exemples ci-dessous.
4. Appliquez la fonction de réponse impulsionnelle sur la plage de termes et tracez la fonction résultante.
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5. Calculez la réponse en fréquence pour ce signal tronqué en utilisant la fonction gain, après avoir défini la plage de fréquences (multiples de la fréquence de l'échantillon).
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6. Collectez les amplitudes discrètes de la fonction gain dans un nouveau tableau.
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7. Déterminez l'amplitude maximale de G ainsi que la fréquence correspondante.
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Lorsque le nombre de termes N1=63, le gain maximum 1.083 se produit à la fréquence freq=0.134.
Lorsque le nombre de termes N2=127, le gain maximum 1.092 se produit à la fréquence freq=0.142, en se déplaçant par conséquent vers l'extrémité de la bande passante.
A la fréquence freq=0.2, le gain chute à une valeur presque nulle. Comparez le gain au voisinage de cette fréquence dans chacun des exemples ci-dessous.
8. Tracez la fonction gain sur la plage définie et déterminez la fréquence à laquelle l'amplitude est maximale.
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Le dépassement à l'extrémité de la bande passante est connu sous le nom de phénomène de Gibbs. L'augmentation de l'ordre N du filtre de N1=63 à N2=127 comme ci-dessus déplace le dépassement plus près de l'extrémité de la bande passante, mais ne diminue pas son amplitude.
La transition de 1 à 0 devient plus nette avec l'augmentation de la valeur de l'ordre N du filtre.
Un moyen permettant de produire une réponse en fréquence plus souhaitable consiste à fenêtrer la réponse impulsionnelle idéale, afin que la transition à 0 au niveau des extrémités de la réponse impulsionnelle du filtre se fasse de manière plus douce. Les fenêtres sont multipliées terme à terme avec un vecteur réponse r.
Fenêtre triangulaire
La fonction triangular renvoie la fenêtre triangulaire ou la fenêtre de Bartlett de largeur N.
L'élément j du vecteur obtenu est donné par :
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pour
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pour
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vt, à la fréquence k/1000.
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Fenêtre de Hanning
La fonction hanning renvoie la fenêtre de Hanning de largeur N.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vhn, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -45 dB.
Fenêtre de Hamming
La fonction hamming renvoie la fenêtre de Hamming de largeur N.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vhm, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -55 dB.
Fenêtre de Blackman
La fonction blackman renvoie la fenêtre de Blackman de largeur N.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vb, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -75 dB.
Fenêtre de Nuttall
La fonction nuttall renvoie la fenêtre de Nuttall de largeur N.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vnu, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -105 dB.
Fenêtre rectangulaire adoucie
La fonction taprect renvoie la fenêtre rectangulaire adoucie de largeur N.
Cette fenêtre est horizontale en son milieu avec une hauteur de 1 et des extrémités adoucies suivant des courbes en cosinus. Les côtés droit et gauche utilisent les valeurs :
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et n prend les valeurs comprises entre 0 et h.
1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vtr, à la fréquence k/1000.
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Fenêtre de Gauss
La fonction gaussian renvoie la fenêtre de Gauss de largeur N et de paramètre a. Le nombre a est un nombre réel proportionnel à l'inverse de la variance gaussienne et doit satisfaire la condition suivante : 2 < a < 20.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vg, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -95 dB.
Fenêtre de Kaiser
La fonction kaiser renvoie la fenêtre de Kaiser de largeur N et de paramètre b. Le paramètre b doit satisfaire la condition suivante : 2≤b≤20.
L'élément k du vecteur obtenu est donné par :
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1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vk, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -75 dB.
Fenêtre de Chebyshev
La fonction cheby renvoie la fenêtre de Chebyshev ou une fenêtre d'ondulation équivalente de largeur N et de paramètre b. Le paramètre b spécifie l'amplitude de l'ondulation latérale maximale en dB et doit satisfaire la condition suivante : 1 < b ; en général b > 50. La longueur de cette fenêtre doit être impaire. La fenêtre de Chebyshev est calculée en prenant la transformée de Fourier discrète inverse d'un polynôme de Chebyshev évalué à des points situés sur le cercle unitaire. Voir "Programs for Digital Signal Processing" (IEEE Press) pour plus d'informations sur cette fenêtre.
1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vc, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -110 dB.
Fenêtre en cosinus surélevé
La fonction costaper est similaire à la fonction taprect en ce sens qu'elle renvoie une fenêtre rectangulaire présentant des extrémités adoucies suivant une courbe en cosinus. Vous pouvez toutefois utiliser le paramètre a pour spécifier le pourcentage de la fenêtre devant être créé à l'aide d'une courbe en cosinus. Le paramètre a doit être compris entre 0 et 1 ; une valeur égale à 0 renvoie une fenêtre rectangulaire, tandis qu'une valeur égale à 1 renvoie une courbe en cosinus surélevé.
En ce qui concerne la partie adoucie de la fenêtre, la valeur du kième élément est donnée par :
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où M est le nombre d'éléments de la fenêtre inclus dans l'une des extrémités, et est donné par a-N :
1. Appliquez la fonction à l'ordre de filtrage N et tracez le vecteur obtenu.
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2. Calculez la réponde d'impulsion fenêtrée.
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3. Utilisez la fonction gain pour calculer et tracer le gain en dB de ce filtre, avec des coefficients vrc, à la fréquence k/1000.
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L'ondulation de la bande de coupure est d'environ -20 dB.
Documents de référence
S. Lawrence Marple, Jr., Digital Spectral Analysis with Applications, Prentice-Hall (1987).
Lawrence R. Rabiner et Bernard Gold, Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc. (1975).
T. W. Parks et C. S. Burrus, Digital Filter Design, Wiley-Interscience (1987).